Dejemos que $F\subseteq C^1([0,1],\mathbb{R})$ sea un subespacio cerrado de $C([0,1],\mathbb{R})$ . Demostrar que $F$ es de dimensión finita.
Así que consideré la norma $\Vert f\Vert_1=\Vert f\Vert_\infty+\Vert f'\Vert_\infty$ y demostró que $(F,\Vert\cdot\Vert_1)$ es un espacio de Banach. A continuación, utilizando a Arzela-Ascoli, demostré que $\overline{\mathbb{B}}_{(F,\Vert\cdot\Vert_1)}(0,1)$ es compacto en $(F,\Vert\cdot\Vert_\infty)$ . En este punto, recibí ayuda y me dijeron que mostrara que $\Vert\cdot\Vert_\infty$ y $\Vert\cdot\Vert_1$ son normas equivalentes en $F$ y que podría utilizar el teorema del mapa abierto para hacerlo... ¿Cómo?
El siguiente paso sería utilizar el teorema de compacidad de Riesz para concluir que $F$ es, de hecho, de dimensión finita. Pero, ¿en qué paso, exactamente, necesitamos la cerrazón de $F$ ? Tengo la sensación de no haber hablado de ello explícitamente.
