Cómo resolver la ecuación $n^2 \equiv 0 \pmod{584}$ ?

Question

Bueno, me he confundido al tratar de resolver esta ecuación puede alguien ayudarme :

$n^2 \equiv 0 \pmod{584}$

Traté de factorizar el $584$ Tengo $584=2^3\times73$ .

así que $n^2$ tiene que ser divisible por $2^3$ y $73$ en este mismo tiempo.

aquí me atasco.

Answer 1

Estás buscando números enteros $k$ tal que

$$n^2=2^373^1k $$

Sin embargo, un número es un cuadrado si todos sus exponentes primos son pares. Por lo tanto, $k$ debe ser de la forma $$k=2 \cdot73 \cdot l^2$$ donde $l $ es un número entero arbitrario.

Tomando la raíz cuadrada se encuentra que

$$n=2^2 \cdot 73^1 \cdot l $$

donde $l \in \mathbb{Z}$ .

Answer 2

Si $p^{2k+1} \vert n^2 \implies p^{k+1} \vert n$ . Por lo tanto, $2^3 \vert n^2 \implies 2^2 \vert n$ . De la misma manera, $73 \vert n^2 \implies 73 \vert n$ . Desde $\gcd(4,73) = 1$ tenemos $292 \vert n$ .

Por lo tanto, $n = 292m$ , donde $m \in \mathbb{Z}$ .

Answer 3

$n^2\equiv0\pmod{584}$ si $n^2\equiv 0\pmod {73}$ y $n^2\equiv 0\pmod 8$ .

Como $73$ es un primo, $n^2\equiv 0 $ si $n\equiv 0\pmod {73}$ .

Para acortar la historia, podríamos simplemente probar todos $n\pmod 8$ y comprobar $n^2\pmod 8$ . No es de extrañar que encontremos que $n^2\equiv0\pmod 8$ si $n\equiv 0\pmod 8$ o $n\equiv 4\pmod 8$ . Así que $n^2\equiv0\pmod 8$ si $n\equiv 0\pmod 4$ .

(En realidad, la solución general de las potencias primos $p^r$ con $r\ge1$ es que $n^2\equiv 0\pmod {p^r}$ si $n\equiv 0\pmod{p^{\lceil r/2\rceil}}$ (Ya ves, ¿por qué?)

Por el teorema del resto chino, $$ n^2\equiv 0\pmod{584}\quad\iff\quad n\equiv 0\pmod{292}$$

Answer 4

${\bf Hint}\ \ {\rm If}\ \ p\ \ {\rm is\ prime,}\ \ n = p^{\large k} m,\,\ p\nmid m\ \ {\rm then}\ \ p^{\large 2j-1}\!\mid n^{\large 2}\!\iff\! \color{#0a0}{p^{\large 2j}\mid n^{\large 2}}\!\iff \color{#c00}{p^{\large j}\mid n},\ $ desde

$$\begin{eqnarray}\,\ p^{\large 2j-1}\!\mid n^{\large 2}\! = p^{\large 2k} m^{\large 2} \!\iff\! 2j\!-\!1\le 2k &\iff& \ \color{#0a0}{2j\le 2k} &\iff& \ \color{#c00}{j\le k}\\ &\overset{\phantom{I^I}}\iff& \color{#0a0}{p^{\large 2j}\mid \smash[b]{\underbrace{p^{\large 2k}m^2}_{\Large n^2}}}\!\! &\iff& \color{#c00}{p^{\large j}\mid \smash[b]{\underbrace{p^{\large k}m}_{\Large n}}} \\ \\ \end{eqnarray}$$

por el Teorema fundamental de la aritmética ( existencia y singularidad de las factorizaciones primarias)

$\!\begin{eqnarray}{\rm Therefore}\ \ \ 2^3\cdot 73\mid n^2 &\iff& 2^3\mid n^2,\,\ 73\mid n^2 \ &&\text{by lcm = product for coprimes}\\ &\iff& \color{#c00}{2^2\mid n,\ \ \ 73\mid n}&&\text{by above Lemma}\\ &\iff& 2^2\cdot 73\mid n &&\text{by lcm = product for coprimes} \end{eqnarray}$