¿Existe un subgrupo denso incontable, $\Gamma$ del grupo aditivo $\mathbb{R}$ , tal que cada selector de la partición de $\mathbb{R}$ canónicamente asociada a la relación de equivalencia $x \in \mathbb{R}$ & $y \in \mathbb{R}$ & $x y \in \Gamma$ no es medible?
Esta pregunta está relacionada con una pregunta anterior mía que aún no ha sido contestada.
He editado mi respuesta anterior a la luz de un reciente intercambio de correos electrónicos con Sławomir Solecki.
Existe una importante literatura sobre los selectores tipo Vitali. Uno de los principales trabajos en esta área es el siguiente, disponible aquí .
Cichoń, J.; Kharazishvili, A.; Węglorz, B. En conjuntos del tipo de Vitali . Proc. Amer. Math. Soc. 118 (1993), no. 4, 1243-1250.
Hay muchos resultados interesantes en el documento anterior, incluyendo el hecho, observado por Joel Hamkins en su respuesta, de que $MA+\lnot CH$ implica la existencia de subgrupos incontables $G$ de $\Bbb{R}$ sin que se pueda medir $G$ -selectores; donde a $G$ -selector es una función de elección que selecciona un elemento de cada $G$ -coset.
Además, el Teorema 6 del documento anterior muestra que bajo $MA+\lnot CH$ hay incluso un subgrupo $G$ de $\Bbb{R}$ de poder $2^{\aleph_0}$ que no tiene ninguna medida $G$ -selector.
Esto debe contrastarse con el Teorema 2 del documento, que afirma que todo subgrupo analítico $G$ de los reales tiene una medida $G$ -selector.
Según Solecki (comunicación privada) aparentemente se desconoce si $ZFC$ puede demostrar que existe un subgrupo incontable de los reales todos cuyos selectores son Lebesgue no medibles.
Sin embargo, si se permite extensiones de las medidas, entonces hay que hacer una distinción fundamental (nota: el teorema que sigue fue enunciado y demostrado por primera vez con $CH$ Pero $CH$ se eliminó posteriormente en el documento citado más abajo).
Teorema (Solecki). Las siguientes son equivalentes para cada subgrupo $G$ de reales.
(a) $G$ es contable y denso.
( b) Cada $G$ -es no medible con respecto a cualquier extensión invariante de la medida de Lebesgue.
El resultado de Solecki anterior es un caso especial del Cor. 2.2. del siguiente artículo suyo:
Ideales invariantes de traslación , Israel J. Math. 135 (2003), 93--110
Permítanme dar media respuesta señalando que es relativamente coherente con ZFC que exista tal grupo. De hecho, es relativamente consistente con ZFC que hay numerosos grupos de este tipo, y de hecho, que el continuo es muy grande y cada subgrupo denso de tamaño menor que el continuo (que incluiría muchos subgrupos incontables) tiene la propiedad que mencionas. Esto es una consecuencia del Axioma de Martin más $\neg$ CH.
La razón es que el argumento clásico de Vitali se generaliza a subgrupos incontables, siempre que tengan un tamaño menor que el número de aditividad $\text{add}(\mathcal{N})$ del ideal nulo $\mathcal{N}$ y, en realidad, basta con que sea menor que el número de cobertura $\text{cov}(\mathcal{N})$ . El número de aditividad es el mayor cardinal tal que la unión de menos de $\text{add}(\mathcal{N})$ muchos conjuntos de medida cero siguen teniendo medida cero (véase esta pregunta del MO para más información ). Todos sabemos que la unión de un número contable de conjuntos de medida cero tiene medida cero, por lo que $\aleph_1\leq\text{add}(\mathcal{N})\leq 2^{\aleph_0}$ . Pero también se sabe que es relativamente consistente con $\text{ZFC}+\neg\text{CH}$ que se puede tomar la unión de cualquier $\aleph_1$ muchos (o más) conjuntos de medida cero y seguir teniendo un conjunto de medida cero. En otras palabras, es relativamente consistente que $\text{add}(\mathcal{N})$ es mucho mayor que $\aleph_1$ . En efecto, para cualquier ordinal $\alpha$ se puede disponer que $\aleph_\alpha\leq\text{add}(\mathcal{N})=2^{\aleph_0}$ . De hecho, $\text{add}(\mathcal{N})=2^{\aleph_0}$ es una consecuencia del axioma MA de Martin, que es consistente con valores muy grandes del continuo.
La cuestión ahora es que el argumento clásico de Vitali muestra que si $\Gamma$ es cualquier subgrupo de $\mathbb{R}$ de tamaño inferior al número de aditividad $\text{add}(\mathcal{N})$ y $V$ es un selector con respecto a la traslación por $\Gamma$ seleccionando un elemento de cada clase de equivalencia, entonces $V$ no será medible. Para ver esto, observe que como $\mathbb{R}$ es la unión de $|\Gamma|$ muchas traducciones de $V$ se deduce que $V$ no puede tener medida cero, ya que la unión de menos de $\text{add}(\mathcal{N})$ muchos conjuntos de medida cero siguen teniendo medida cero. Y $V$ no puede tener medida positiva medida positiva, ya que entonces tendrá medida positiva en un intervalo finito, y se puede proceder igual que en el caso de Vitali encontrando infinitos conjuntos de medida positiva disjuntos en un intervalo acotado, una contradicción.
El argumento se puede mejorar para el caso de $\Gamma$ de tamaño inferior al número de cobertura del ideal nulo $\text{cov}(\mathcal{N})$ el menor número de conjuntos de medida cero que cubren $\mathbb{R}$ , ya que habíamos cubierto $\mathbb{R}$ con el $\Gamma$ -traducción de $V$ . Esto es una mejora, ya que es coherente que el número de cobertura sea estrictamente mayor que el número de aditividad.
En resumen, lo que el argumento muestra es que es consistente con ZFC que el continuo es muy grande, pero cada subgrupo denso de $\mathbb{R}$ de tamaño inferior al continuo, y esto incluye muchos subgrupos incontables ya que el continuo es grande, tiene todos sus selectores no medibles. Esta situación es una consecuencia de $\text{MA}+\neg\text{CH}$ .
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
