Rango de una matriz restada por un vector

Question

Tengo una matriz $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ cuyas columnas son linealmente independientes y, por tanto, $\text{rank}(A)=n$ . La longitud euclidiana de cada columna es la misma, es decir, todas las columnas están normalizadas y escaladas.

Resto cada columna de $A$ por un vector $u \in \mathbb{R}^n$ . Llamemos a dicha matriz $B$ . ¿Podemos demostrar que $\text{rank}(B) \geq n-1$ ? Si no es así, ¿en qué condiciones es así?

Answer 1

Desde $A$ tiene rango $n$ sus columnas forman una base para $\mathbb{R}^n$ . Suponiendo que $u\neq 0$ existe un vector no nulo $x\in\mathbb{R}^n$ tal que $u = Ax$ . Así,

$$ A - ue^T = A - Axe^T = A(I - xe^T), $$

donde $e$ es el $n$ -vector de todos los unos. Dado que $A$ tiene rango $n$ ,

$$ \operatorname{rank}(A-ue^T) = \operatorname{rank}(A(I - xe^T)) = \operatorname{rank}(I - xe^T) $$

Así que tienes que demostrar que $\operatorname{rank}(I - xe^T) \geq n - 1$ o, lo que es lo mismo, que el espacio nulo de $I - xe^T$ tiene como máximo una dimensión. Para ello, supongamos que $v$ es un vector no nulo en $\mathbb{R}^n$ que satisface la ecuación

$$ (I - xe^T)v = 0 \iff v_i = x_i\sum_{j=1}^n v_j,~~i = 1,\ldots,n $$

que es posible si y sólo si $e^Tx = 1$ . Por lo tanto, si $e^Tx = 1$ entonces el espacio nulo de $I-xe^T$ es $\operatorname{span}\{x\}$ que tiene dimensión uno, de lo contrario, es el espacio nulo trivial $\{0\}$ que tiene dimensión cero.

Answer 2

Supongamos que $(e_1,...,e_m)$ son las columnas, es una base de $\mathbb{R}^n$ , considere la matriz $B_1=(e_1-u,e_2,...,e_n)$ si su rango es $n-1$ , $u=e_1+a_2e_2+..+a_ne_n$ En este caso, escriba $v_1=a_2e_2+..+a_nv$ $(e_1-u,e_2-u,...,e_n-u)=(-v,e_2-e_1-v,...,e_n-e_1-v)$ y el rango de la última matriz es superior a $n-1$ desde $(e_2-e_1,...,e_n-e_1)$ está en el espacio vectorial generado por $(-v,e_2-e_1-v,...,e_n-e_1-v)$ .

Si el rango de $B_1$ es $n$ , considere la matriz $B_2=(e_1-u,e_2-u,e_3,...,e_n)$ si su rango es $n-1$ , $u=e_2+a_1(e_1-u)+a_3e_3+..+a_ne_n$ , escriba $v_2=a_1(e_1-u)+a_3e_3+..+a_ne_n$ , $(e_1-u,e_2-u...,e_n-u)=(e_1-u-e_2-v,-v,e_3-e_2-v,...,e_n-e_2-v)$ tiene rango $n-1$ o $n$ .

recursivamente, se obtiene que el rango de $(e_1-u,e_2-u,...,e_n-u)$ es $n-1$ o $n$ .