Alguna idea de probar la desigualdad?

Question

Deje $a,b,c$ ser no negativo números de tal manera que $$\frac {1}{2+a} + \frac {1}{2+b} + \frac {1}{2+c} = 1.$$

Demostrar que $ \sqrt{ab} + \sqrt{ac} + \sqrt{bc} \leq 3 $.

Answer 1

La condición da: $$\frac32-1 = \sum_{cyc} \left(\frac12-\frac1{2+a} \right)$$ $$\implies 1 = \sum_{cyc} \frac{a}{2+a} \ge \frac{(\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c)^2}{a+b+c+6} \quad \text{by Cauchy-Schwarz inequality}$$ $$\implies 3 \ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$$

Answer 2

La condición da que hay $\alpha\geq0$, $\beta\geq0$ y $\gamma\geq0$ tal que $\alpha+\beta+\gamma=\pi$ para los que $\sqrt{ab}=2\cos\gamma$, $\sqrt{ac}=2\cos\beta$ y $\sqrt{bc}=2\cos\alpha$.

Por lo tanto, tenemos que demostrar que el $\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma\leq\frac{3}{2}$, lo cual es evidente.