Considere $V_{(n-1, 1)}$ El $n-1$ representación irreducible dimensional de $S_n$ es decir, la representación "estándar" o "definitoria". ¿Existe una buena fórmula para saber cómo se $k$ -ésima potencia tensorial de $V_{(n-1, 1)}$ ¿se descompone en irreps?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Por comodidad, consideremos la representación $Y=V_n\oplus V_{n-1,1}$ en lugar de $V_{n-1,1}$ . Entonces la multiplicidad de la representación de $S_n$ indexado por la partición $\lambda$ de $n$ en el $k$ potencia tensorial de $Y$ es igual al producto escalar de la función simétrica $s_1^k$ (donde $s_1=x_1+x_2+\cdots$ denota una función de Schur) con el plethysm $s_\lambda[1+h_1+h_2+h_3+\cdots]$ , donde $h_i$ es la función simétrica completa de grado $i$ . Esto se desprende de la teoría del pletismo interno; véase el ejercicio 7.74 de Combinatoria Enumerativa volumen 2. Dado que el plethysm es en general intratable, no espero nada más sencillo. Este resultado permite, sin embargo, calcular estas descomposiciones utilizando el paquete SF de Maple de Stembridge para valores pequeños de $n$ y $k$ .
Adenda. He utilizado el método del ejercicio 7.74 para obtener el resultado análogo para $V_{n-1,1}$ . En concreto, la multiplicidad de la representación de $S_n$ indexado por la partición $\lambda$ de $n$ en el $k$ potencia tensorial de $V_{n-1,1}$ es igual al producto escalar de $s_1^k$ con la función simétrica $(1-e_1+e_2-e_3+\cdots)\cdot s_\lambda[1+h_1+h_2+h_3+\cdots]$ , donde $e_i$ es una función simétrica elemental.
Anexo 2. Una formulación alternativa es la siguiente. La multiplicidad de la representación de $S_n$ indexado por la partición $\lambda$ de $n$ en el $k$ potencia tensorial de $V_{n-1,1}$ es igual al producto escalar de $(s_1-1)^k$ con la función simétrica $s_\lambda[1+h_1+h_2+h_3+\cdots]$ .
Noticia de última hora. He dicho más arriba que el plethysm en general es intratable. De hecho, la expansión de la función Schur de $s_\lambda[1+h_1+h_2+\cdots]$ me parece desesperante. Sin embargo, tomando el producto escalar con $s_1^k$ resulta en una gran simplificación. Puedo demostrar lo siguiente. La multiplicidad de la representación de $S_n$ indexado por la partición $\lambda$ de $n$ en el $k$ potencia tensorial de $V_n\oplus V_{n-1,1}$ es igual al coeficiente de $s_\lambda$ en la expansión de la función Schur de $(1+h_1+h_2+\cdots)\cdot \sum_{j=1}^k S(k,j)s_1^j$ , donde $S(k,j)$ es un número de Stirling del segundo tipo. (Después de obtener este resultado, me di cuenta de que es esencialmente el mismo que el Corolario 2 del artículo de Goupil-Chauve mencionado en el comentario de Vasu Vineet). Dado que para un número fijo de $j$ tenemos $S(k,j)=\frac{1}{j!}\sum_{i=1}^j (-1)^{j-i}{j\choose i}i^k$ podemos obtener fórmulas explícitas para las multiplicidades para $\lambda$ que no implican números Stirling. Por ejemplo, cuando $\lambda=(3)$ la multiplicidad es $\frac{1}{6}(3^k+3)$ , para $\lambda=(2,1)$ es $3^{k-1}$ y para $\lambda=(1,1,1)$ es $\frac{1}{6}(3^k-3)$ . En particular, la multiplicidad para $\lambda = (1^n)$ (es decir, $n$ partes iguales a 1) es $S(k,n)+S(k,n-1)$ .
harris
Puntos
1
El problema ha sido resuelto en la referencia indicada en el comentario de Vasu Vineet, a saber: "Operadores combinatorios para potencias de Kronecker de representaciones de Sn" por Alain Goupil y Cedric Chauve. Sin embargo, no se puede decir que las fórmulas de las proposiciones 1 y 2 de este trabajo sean "bonitas".
Bruce Westbury
Puntos
6382
Quieres las "álgebras de partición". Algunas referencias para empezar son:
MR1317365 (97b:82023) Jones, V. F. R. The Potts model and the symmetric group. Subfactores (Kyuzeso, 1993), 259--267, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1994.
MR1399030 (98g:05152) Martin, Paul . La estructura de las álgebras de partición. J. Algebra 183 (1996), no. 2, 319--358.
MR2143201 (2006g:05228) Halverson, Tom ; Ram, Arun . Partition algebras. European J. Combin. 26 (2005), no. 6, 869--921.
Las álgebras de partición son las álgebras de endomorfismo de las potencias tensoriales de, $V$ La representación natural de $S_n$ . Como se ha mencionado en los comentarios esto se descompone como la suma de la representación trivial y la representación que te interesa.
Puede recuperar información sobre la representación que le interesa a partir de las álgebras de partición. Por ejemplo, en lugar de considerar todas las particiones de conjuntos, sólo consideras las particiones de conjuntos que no tienen un solo punto.
