Álgebra de un producto cartesiano de dos o más copias de un grupo de Lie

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo de Lie, consideremos el producto cartesiano de $n$ copias de $G$ ( $N\geq 2$ ): $G\times G\times \ldots \times G$ . ¿Cuál es el Álgebra de Lie de este grupo? ¿Es el Álgebra de Lie la suma directa g + g ...+ g (donde g es el álgebra de Lie de $G$ ) ?

Answer 1

Por supuesto que sí.

Generalmente, cuando $M_1,\ldots,M_n$ son variedades y para cada $i$ , $p_i\in M_i$ tenemos la identidad $$T_{(p_1,\ldots,p_n)}M_1\times\ldots\times M_n=\bigoplus_iT_{p_i}M_i.$$ Ahora, dado un grupo de Lie $G$ su álgebra de Lie puede identificarse con $T_eG$ y ya está.