Encontrar la ecuación general de la secuencia de álgebra lineal

Question

Supongamos que la secuencia $x_0, x_1, x_2,\dots$ se define por $x_0 = 7$ , $x_1 = 2$ y $x_{k+2} = x_{k+1}+2x_k$ para $k\geq0$ . Encuentre una fórmula general para $x_k$ . Asegúrese de incluir paréntesis cuando sea necesario, por ejemplo, para distinguir $1/(2k)$ de $1/2k$ .

No tengo ni idea de cómo hacer esta pregunta. Que alguien me ayude, por favor.

Answer 1

Observe que $$x_{k+2}-x_{k+1}=-2(x_{k+1}-x_k)$$ por lo que tenemos $$\begin{aligned}x_k-x_{k-1}&=-2(x_{k-1}-x_{k-2})\\x_{k-1}-x_{k-2}&=-2(x_{k-2}-x_{k-3})\\\vdots\\ x_2-x_1&=-2(x_1-x_0)\end{aligned}$$ y, por tanto, sumando todas ellas obtenemos $$x_k-x_1=-2(x_{k-1}-x_0)$$ o de forma equivalente $$x_k+2x_{k-1}=x_1+2x_0\tag1.$$ Ahora bien, si $k$ es uniforme, utilizando $(1)$ obtenemos la siguiente cadena de igualdades: $$\begin{aligned}x_k-4x_{k-2}&=-(x_1+2x_0)\\4x_{k-2}-4^2x_{k-4}&=-4(x_1+2x_0)\\4^2x_{k-4}-4^3x_{k-6}&=-4^2(x_1+2x_0)\\\vdots\\4^{(k-2)/2}x_2-4^{k/2}x_0&=-4^{(k-2)/2}(x_1+2x_0)\end{aligned}$$ así que sumando estos obtenemos $$x_k-4^{k/2}x_0=-\left(1+4+4^2+\cdots+4^{(k-2)/2}\right)(x_1+2x_0)=-\dfrac{4^{k/2}-1}{3}(x_1+2x_0)$$ así que $$x_k=\dfrac{2^k(x_0-x_1)}{3}+\dfrac{2x_0+x_1}{3},\hspace{10pt}\text{if $ k $ is even.}\tag2$$ Ahora bien, si $k$ es impar sólo utiliza la recursión original $x_{k+1}=-x_k+2x_{k-1}$ porque desde $k+1$ y $k-1$ son ambos pares podemos usar $(2)$ y obtener $$x_k=-\dfrac{2^k(x_0-x_1)}{3}+\dfrac{2x_0+x_1}{3},\hspace{10pt}\text{if $ k $ is odd.}\tag3$$ Así, se puede ver desde $(2)$ y $(3)$ que $$\boxed{x_k=\dfrac{(-2)^k(x_0-x_1)}{3}+\dfrac{2x_0+x_1}{3},\hspace{10pt}\text{for all $ k $}}$$ y por lo tanto utilizando $x_0=7$ y $x_1=2$ obtenemos $$x_k=\dfrac{(-2)^k\cdot5}{3}+\dfrac{16}{3}.$$

Answer 2

Sólo para mostrar una forma alternativa, a través de la función de generación.
Permítanme cambiar la notación de $x$ a $a$ para evitar confusiones en lo que sigue.
A partir de su recurrencia $$ \left\{ \begin{gathered} a_{\,0} = 7 \hfill \\ a_{\,1} = 2 \hfill \\ a_{\,k + 2} = - a_{\,k + 1} + 2a_{\,k} \hfill \\ \end{gathered} \right. $$ reescribirlo para incorporar las condiciones iniciales: $$ \left\{ \begin{gathered} a_{\,k < 0} = 0 \hfill \\ a_{\,k} = - a_{\,k - 1} + 2a_{\,k - 2} + 9\left[ {k = 1} \right] + 7\left[ {k = 0} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right. $$ donde $[P]$ indica el Soporte Iverson $$ \left[ P \right] = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} 1 & {P = TRUE} \\ 0 & {P = FALSE} \\ \end{array} } \right. $$ A continuación, multiplique por $z^k$ y resumir $$ \begin{gathered} \sum\limits_{0\, \leqslant \,k} {a_{\,k} z^{\,k} } = - \sum\limits_{0\, \leqslant \,k} {a_{\,k - 1} z^{\,k} } + 2\sum\limits_{0\, \leqslant \,k} {a_{\,k - 2} z^{\,k} } + 9\sum\limits_{0\, \leqslant \,k} {\left[ {k = 1} \right]z^{\,k} } + 7\sum\limits_{0\, \leqslant \,k} {\left[ {k = 0} \right]z^{\,k} } = \hfill \\ = - z\sum\limits_{0\, \leqslant \,k} {a_{\,k - 1} z^{\,k - 1} } + 2z^2 \sum\limits_{0\, \leqslant \,k} {a_{\,k - 2} z^{\,k - 1} } + 9z + 7 \hfill \\ \end{gathered} $$ Así que tenemos: $$ \sum\limits_{0\, \leqslant \,k} {a_{\,k} z^{\,k} } = F(z) = - zF(z) + 2z^2 F(z) + 9z + 7 $$ $$ \begin{gathered} F(z) = \frac{{9z + 7}} {{1 + z - 2z^2 }} = - \frac{{9z + 7}} {{\left( {2z + 1} \right)\left( {z - 1} \right)}} = \frac{5} {{3\left( {2z + 1} \right)}} + \frac{{16}} {{3\left( {1 - z} \right)}} = \hfill \\ = \frac{5} {3}\sum\limits_{0\, \leqslant \,k} {\left( { - 2} \right)^{\,k} z^{\,k} } + \frac{{16}} {3}\sum\limits_{0\, \leqslant \,k} {z^{\,k} } \hfill \\ \end{gathered} $$ $$ a_{\,k} = \frac{{5\left( { - 2} \right)^{\,k} + 16}} {3} $$