Actualmente estoy trabajando en el siguiente problema, necesito un poco de ayuda con la solución de la última parte, ¿alguna pista?
Q: Sea S un semigrupo, y sea una congruencia en S. Demostrar que si e S es un idempotente, entonces su clase de equivalencia e/ es un subsemigrupo de S, y es un idempotente en el cociente S/. Demuestre también que si S es finito y x/ es un idempotente de S/ entonces x/ contiene un idempotente.
A: e\ $\rho$ = $ x \in S : (e,x) \in \rho $ es decir, el conjunto de todas las cosas relacionadas con e. Este es un subconjunto de S y, por tanto, sigue siendo asociativo, así que para demostrar que es un subsemigrupo sólo tenemos que demostrar el cierre, lo cual es fácil utilizando el hecho $e^{2} = e$ y que la relación es una congruencia.
Mostrar $e / \rho$ es un idempotente en el cociente $S / \rho$ también está bien considerando e/ $\rho$ * e/ $\rho$ = $e^{2} / \rho$ = $e / \rho$ como e es un idempotente así que eso es dandy.
Sin embargo, la última línea es la que me confunde "demostrar que si S es finito y $x/\rho$ es un idempotente de $S/\rho$ entonces $x/ \rho$ contiene un idempotente". Seguramente si $x/\rho$ es un idempotente, claramente $x/\rho$ $\in$ $x/\rho$ ? No entiendo muy bien lo que se pide o por qué se necesita la condición de finitud... Se agradece cualquier ayuda.
