$L^{2}(\mathbb R)$- norma de toda la función

Question

Deje $f(z)$ ser toda una función definida por $$f(z)=\prod_{n=1}^{\infty}\bigg(1-\frac{z^{2}}{a_{n}^{2}}\bigg),\qquad z\in \mathbb C$$ donde $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ es una secuencia de números reales positivos, determinado de manera que el infinito producto anterior define una función completa. ¿Cómo podemos calcular la integral $$\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^{2}dx$$ donde $x$ es real. O al menos encontrar una cota superior para que (si es finito)?

Answer 1

He buscado infinito productos, http://mathworld.wolfram.com/InfiniteProduct.html. Considere la posibilidad de $$cos(x)=\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{4x^2}{\pi^2(2n-1)^2}\right).$$ A continuación, $$\int_{-\infty}^\infty |cos(x)|^2 dx=\infty.$ $ Así que no creo que un límite superior puede ser encontrado.