Evalúa el siguiente límite: $$\lim_{x\to\infty} \frac{5x^2}{\sqrt{7x^2-3}}$$
No sé muy bien qué hacer cuando hay una raíz cuadrada para un límite infinito.
Por favor, ¡ayuda!
Respuestas
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Drew Jolesch
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Se puede dividir el numerador y el denominador por $x$ para encontrar que el límite $\to + \infty$ .
$$ \large \frac{5x^2}{\sqrt{7x^2-3}}\cdot \frac{\frac {1}{x}}{\frac{1}{\sqrt{x^2}}} = \frac {\frac {5x^2}{x}}{\sqrt {\frac {7x^2}{x^2} - \frac 3{x^2}}} = \frac {5x}{\sqrt{7 - \frac 3{x^2}}} = \frac {5x}{7}$$
Esto nos da que $$\lim_{x\to \infty} \frac{5x^2}{\sqrt{7x^2-3}} =\lim_{x \to \infty}\frac {5x}{7}$$
y claramente, $\dfrac {5x}{7} \to +\infty$ como $x \to \infty$ .
Usuario no registrado
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De manera informal, el denominador tiene el siguiente aspecto $\sqrt{x^2} = |x|$ mientras que el numerador es $x^2$ por lo que el límite es el infinito.
Más formalmente, sabemos que $7x^2 - 3 < 9x^2$ para todos $x$ . Por lo tanto,
$$\frac{1}{7x^2 - 3} > \frac{1}{9x^2}$$
para un tamaño suficientemente grande $x$ y así
$$\frac{5x^2}{\sqrt{7x^2 - 3}} > \frac{5x^2}{\sqrt{9x^2}} = \frac{5x}{3}$$
para todos $x$ grande. Por lo tanto, la cantidad relevante puede estar limitada por debajo por algo que tiende a infinito.
Peter B
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Lockie
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Jiri Sedlacek
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Puede considerar $$\lim_{x\to\infty}\frac{5x^2}{\sqrt{7x^2-3}}=\lim_{x\to\infty}\frac{5x^2}{\sqrt{7x^2-3}}\frac{\sqrt{7x^2-3}}{\sqrt{7x^2-3}}=\lim_{x\to\infty}\frac{5x^2\sqrt{7x^2-3}}{7x^2-3}= \lim_{x\to\infty}\frac{5\sqrt{7x^2-3}}{7-\frac{3}{x^2}}$$
Ahora para $x\to\infty$ tenemos $\sqrt{7x^2-3}\to\infty,\frac{3}{x^2}\to{}0$ por lo que utilizando la regla aritmética de los límites, obtenemos $$\lim_{x\to\infty}\frac{5\sqrt{7x^2-3}}{7-\frac{3}{x^2}}=\frac{5\cdot\infty}{7-0}=\infty$$
