Paseo aleatorio 1D con cruces infinitos

Question

Dejemos que $x_i$ sea un real uniformemente aleatorio en $(-1,1)$ . Y que $f(x)$ sea una función positiva estrictamente creciente e ilimitada.
Dejemos que $S_j(f)=x_0/f(0)+x_1/f(1)+x_2/f(2)+\cdots+x_j/f(j)$

En $S_j(f)$ convergen para cada $f$ ?

¿Existe una $f$ tal que con probabilidad 1, las sumas parciales $S_j$ cambiar de signo infinitas veces y $S_j$ ¿converge?

Answer 1

La respuesta a ambas preguntas es no .

Por Teorema de las tres series de Kolmogorov , $S_j(f)$ convergerá con casi total seguridad si y sólo si $\sum_j {1/f(j)^2}<\infty$ . Esto falla, por ejemplo, si $f(j)=1+\sqrt{j}$ .

Si $S_j(f)$ converge, sólo puede cambiar de signo infinitas veces siempre que el límite sea cero. Si eso fuera cierto, la ecuación $x_0=-f(0)\ [x_1/f(1)+x_2/f(2)+\cdots]$ mostraría que la variable aleatoria $x_0$ es independiente de sí misma. Pero esto es imposible para una variable aleatoria no constante.