Encontrar una base de vectores propios

Question

Para un operador lineal $T$ en $V$ encontrar los valores propios de $T$ y una base ordenada $\beta$ para $V$ tal que $[T]_\beta$ es una matriz diagonal:

$V$ = $R^3$ , $T(a,b,c)$ = $(7a-4b+10c,4a-3b+8c,-2a+b-2c)$ .

He resuelto esta cuestión, y he obtenido que, los valores propios son $-1,1,2$ y

la base $\beta$ = { $(1,2,0),(1,4,1),(-2,0,1)$ }.

Pero, mi libro da una respuesta diferente para $\beta$ es decir

$\beta$ = { $(1,2,0),(1,-1,-1),(2,0,-1)$ }.

¿Es mi respuesta también correcta? Lo que quiero saber es si esta base $\beta$ para $V$ ¿puede determinarse de forma única?

Creo que podría haber muchas opciones para $\beta$ como incluso la pregunta dice " $an$ " y no " $the$ "base ordenada". ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Hay no elección canónica para una base de vectores propios. Por ejemplo, si $(1,1,1)$ es un vector propio, entonces también $(a,a,a)$ (para $a\ne0$ ) es, y no hay ninguna regla que haga $(1,1,1)$ preferible a $(2,2,2)$ .

Su matriz es $$ \begin{bmatrix} 7 & -4 & 10 \\ 4 & -3 & 8 \\ -2 & 1 & -2 \end{bmatrix} $$ Se puede comprobar fácilmente que

1. $(1,2,0)$ es un vector propio para el valor propio $-1$ ;
2. $(1,-1,-1)$ es un vector propio para el valor propio $1$ ;
3. $(2,0,-1)$ es un vector propio para el valor propio $2$ .

No hay una opción canónica, por lo que usar $(-2,0,1)$ es tan bueno como usar $(4,0,-2)$ o $(2,0,-1)$ .

Sin embargo, una vez realizadas las comprobaciones, su vector $(1,4,1)$ no puede ser un vector propio: si lo fuera, sería un múltiplo escalar de uno de los vectores anteriores, y no lo es.

En efecto, $$ \begin{bmatrix} 7 & -4 & 10 \\ 4 & -3 & 8 \\ -2 & 1 & -2 \end{bmatrix}\, \begin{bmatrix} 1\\4\\1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix} $$

Si tuviera que calificar tu examen, lo consideraría un grave error, porque tienen una forma de comprobar tus cálculos, es decir, que los vectores que has encontrado son realmente vectores propios.