martingala y tiempo de parada

Question

Actualmente aprendo la martingala y estoy confundido sobre la martingala con un tiempo de parada.

La parada opcional de Dobb dice que si $T$ está acotado, $\{X_n\}$ es una martingala, entonces $E[X_T] = E[X_0]$ .

Tengo dos preguntas:

1. Tiempo de parada $T$ es una variable aleatoria y $X_n$ es también una variable aleatoria. Pero cómo entender $X_T$ ?

2. $\{X_n\}$ es una martingala por lo que $\{X_n\}$ ya tienen la misma expectativa. ¿Cuál es la parte elegante de la parada opcional de Dobb? Me refiero a por qué es importante.

Gracias de antemano.

Answer 1

1. $X_T : \omega\in\Omega \mapsto X_{T(\omega)}(\omega)\in\mathbb{R}$ ;
2. $T$ es aleatorio, pero cualquier valor que tome, en promedio, $X_T$ tendrá el mismo valor que $X_0$ (en promedio...).