Calcular la integral de $f(x,y)=(x+y)^2$ en la plaza $[0,1]\times [0,1]$ con sumas de Riemann

Question

Necesito calcular la integral de $f(x,y)=(x+y)^2$ en la plaza $[0,1]\times [0,1]$ utilizando la definición de sumas de Riemann. Sé con Fubini que tiene que ser $\frac{7}{6} $ pero en mi solución obtengo $\frac{1}{2} $ . ¿Dónde está mi error?

Dejemos que $z_k$ sea una partición de $[0,1]\times[0,1]$ con $z_k=z_1 \times z_2$ y $z_1=\{0,1/k,2/k,...,1\}$ y $z_2=\{0,1/k,2/k,...,1\}$

$x_{ij} \in [(i-1)/k,i/k]\times[(j-1)/k,j/k]$ de donde elegimos $x_{ij}=(i/k,j/k)$

Entonces: \begin{align} S_{z_k}(f)&=\sum_{i,j=1}^k(i/k+j/k)^2\cdot1/k^2\\ &=1/k^4 (\sum_{i=1}^k i^2+2\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^kij+\sum_{j=1}^kj^2\\ &=1/k^4((1/3)(k(k+1)(2k+1)+(1/2)k^2(k+1)^2)\\ &=1/2+5/(3k)+3/(2k^2)+1/(3k^3) \rightarrow 1/2 \end{align} para $k$ hasta el infinito.

¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

A partir de su suma $S_{z_{k}}(f)$ :

\begin{align} S_{z_{k}}(f) &= \sum_{i,j=1}^{k}(i/k+j/k)^{2}\times 1/k^{2} \tag{1}\\ &= \frac{1}{k^{4}}\left(\sum_{i,j=1}^{k}i^{2} + 2\sum_{i,j=1}^{k} ij + \sum_{i,j=1}^{k} j^{2}\right) \tag{2}\\ &= \frac{1}{k^{4}}\left( k \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} +\frac{k^{2}(k+1)^{2}}{2}+k\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\right) \tag{3} \end{align}

Después de simplificar y dejar $k\to \infty$ : obtenemos $$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{7}{6}.$$

---

Para señalar dónde está tu error: Pasas de $(1)$ arriba a $$\frac{1}{k^{4}}\left(\sum_{i=1}^{k}i^{2} + 2\sum_{i,j=1}^{k}ij + \sum_{j=1}^{k} j^{2}\right)$$ lo cual es incorrecto porque te falta una suma sobre $j$ en el primer plazo $"\sum_{i=1}^{k} i^{2}"$ y del mismo modo se pierde una suma sobre $i$ en el último trimestre $"\sum_{j=1}^{k} j^{2}$ "(comparar con $(2)$ ). La omisión de estos sumandos tiene el efecto de que cuando $k\to \infty$ ninguno de los términos mencionados contribuye al resultado final.

Answer 2

La última ecuación( $\sum_{i,j=1}^k(i/k+j/k)^2\cdot1/k^2\\ =1/k^4 (\sum_{i=1}^k i^2+2\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^kij+\sum_{j=1}^kj^2$ ) es incorrecto, RHS se pierde un $\sum_j $ para $\sum_i i^2$ Así es $\sum_i $ falta para $\sum_j j^2$ ,los sumas y obtienes $\frac23+\frac12=\frac76 $