Si $f$ es uno a uno y continuo en el intervalo cerrado $[a,b]$ entonces demuestre que $f$ es estrictamente monótona en $[a,b]$

Question

Si $f$ es uno a uno y continuo en el intervalo cerrado $[a,b]$ entonces demuestre que $f$ es estrictamente monótona en $[a,b]$ .

Así que mi plan era demostrarlo por contradicción.

Me pregunto si hay una forma sencilla de probar esto que se me escapa. ¡Se agradece cualquier ayuda!

Answer 1

Supongamos que $f(a)<f(b)$ demostramos que $f$ es estrictamente creciente.

Dejemos que $x\in [a,b]$ En primer lugar, demostramos que $f(x)>f(a)$ si $f(x)\leq f(a)$ ya que $f$ es continua, la imagen de $[x,b]$ por $f$ es un intervalo, ya que contiene $f(x)\leq f(a)$ y $f(b)>f(a)$ contiene todos los elementos $u$ tal que $f(x)\leq u\leq f(b)$ en particular, existe un elemento $z\in [x,b]$ tal que $f(z)=f(a)$ ya que $a<x$ tenemos una contradicción ya que $f$ es biyectiva.

Supongamos que $f$ no es creciente, existe $x,y\in [a,b] x<y, f(x)\geq f(y)$ si $f(x)=f(y)$ $f$ no es inyectiva, hecho. Supongamos que $f(x)>f(y)$ ya que $f$ es continuar, $f([a,x])$ es un intervalo, contiene cada elemento $u$ tal que $f(a)\leq u\leq f(x)$ En particular, desde que $f(a)\leq f(y) <f(x)$ deducimos que $[a,x]$ contiene $z$ tal que $f(z)=f(y)$ , $z\leq x<y$ esto es una contradicción ya que $f$ es biyectiva. Hecho.

Si $f(a)> f(b)$ La parte anterior muestra que $-f$ es estrictamente creciente.