Fórmula del determinante de la matriz en bloque de las diagonales

Question

¿Existe alguna fórmula para el determinante de una matriz $A$ que parece:

$$A = \begin{pmatrix} \textbf{B}_{11} & \cdots & \textbf{B}_{1L} \\ \vdots & & \vdots \\ \textbf{B}_{L1} & \cdots & \textbf{B}_{LL} \end{pmatrix} $$

donde cada $\textbf{B}_{ij}$ es un $n \times n$ matriz diagonal ?

Editar: He encontrado algo en un papel. Si escribimos cada $$\textbf{B}_{ij} = \cdot \begin{pmatrix} {b}^{(ij)}_1 & \ & 0 \\ \ & \ddots & \ \\ 0 & \ & {b}^{(ij)}_n \end{pmatrix}$$ parece que $$\det(A) = \displaystyle\prod_{k=1}^{n}\det \begin{pmatrix} b^{(11)}_k & \cdots & b^{(1L)}_k \\ \vdots & & \vdots \\ b^{(L1)}_k & \cdots & b^{(LL)}_k \end{pmatrix}$$ ¿Alguna pista para probarlo?

Answer 1

Sí. Deja que $\mathbf C_{ij}$ sea el $L \times L$ matriz definida por $$ \mathbf C_{ij}(p,q) = \mathbf B_{pq}(i,j) $$ En particular, encontramos que $\mathbf C_{ij} = 0$ cuando $i \neq j$ . Al reordenar las filas y columnas de $A$ adecuadamente, vemos que existe una matriz de permutación $P$ tal que $$ PAP^{-1} = \pmatrix{\mathbf C_{11} & & \cdots & \mathbf C_{1n} \\ \\ \vdots && \ddots & \vdots\\ \mathbf C_{n1} & & \cdots & \mathbf C_{nn}} = \pmatrix{\mathbf C_{11} & 0& \cdots & 0 \\ 0 & \mathbf C_{22}& \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & \mathbf C_{nn}} $$ Concluir que $$ \det(A) = \det(\mathbf C_{11}) \det(\mathbf C_{22}) \cdots \det(\mathbf C_{nn}) $$

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En particular, $P$ es la matriz de permutación correspondiente a $\tau:\{1,\dots,nL\} \to \{1,\dots, nL\}$ definido por $$ \tau(1 + (i-1) + n(j-1)) = 1 + (j-1) + L(i-1) \qquad 1 \leq i \leq n, \quad 1 \leq j \leq L $$ En particular: si $x \in \Bbb R^L, y \in \Bbb R^n$ y $\otimes$ denota el producto de Kronecker, entonces $$ P(x \otimes y) = y \otimes x $$