Cómo demostrar que $\det(S+dd^T)=\det S\cdot(1+d^TS^{-1}d)$ ?

Question

Dejemos que $x_i,\overline x, d$ (con $i\leq n$ ) sean vectores dados (columna, de la misma longitud). Poner $S=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline x)(x_i-\overline x)^T$ . Supongamos que $S$ es invertible. ¿Es cierta la siguiente identidad y, en caso afirmativo, cómo puedo demostrarla? $$ \det(S+dd^T)=\det S\cdot(1+d^TS^{-1}d) $$

Pensamientos: obviamente, primero tomamos la $S$ del determinante para obtener $\det(I+dd^TS^{-1})$ entonces podemos hacer una transposición para obtener $\det(I+S^{-T}d^Td)$ que, por supuesto, es igual a $\det(I+S^{-1}d^Td)$ que se ve casi, pero no del todo bien...

Answer 1

Tenga en cuenta que $\mathrm{det}(I+xx^T)=1+x^Tx$ desde $xx^T$ es una matriz de rango uno con un vector propio $x/\|x\|_2^2$ y el valor propio $\|x\|_2^2=x^Tx$ . Por lo tanto, $x$ es un vector propio de $I+xx^T$ con valor propio $1+x^Tx$ . Como todos los demás valores propios son 1, éste es también el determinante. Ahora usamos $S+dd^T=S^{1/2}\left(I+(S^{-1/2}d)(S^{-1/2}d)^T\right)S^{1/2}$ .