Estoy atascado en este problema de probabilidad.

Question

$f(x,y)=ce^{-(x+y)}$ cuando $0< x< y+1$ si $x$ no pertenecía a $0< x< y+1$ entonces $f(x,y)=0$

Las preguntas son :

Encuentre $c$

Determinar la función de distribución $F(y)$

Answer 1

Tienes la idea correcta, lo que pasa es que la integral que montaste (según leo en tu comentario) parece estar mal. Así que reconoces que integrar $f(x,y)$ en $\Bbb R^2$ debe ser igual a $1$ ya que es una distribución de probabilidad, y como $f(x,y)$ sólo es distinto de cero cuando $(x,y)\in A$ Sólo hay que integrar sobre $A$ . De la pregunta sabemos que $A=\{(x,y)\in\Bbb R^2:0<x<y+1\}$ y $f(x,y)=ce^{-x-y}$ cuando $(x,y)\in A$ y $f(x,y)=0$ de lo contrario. Así que sólo integramos sobre $A$ que no tiene límites $x-1<y<\infty$ y $0<x<y+1$ sino que tiene límites $0<x<y+1$ y $-1<y<\infty$ donde integramos con respecto a $x$ primero. Si estos límites no están claros, sugiero graficar las líneas $x=0$ y $x=y+1$ (que son los límites de $x$ ), y ver qué valores de $y$ están en ese dominio (es decir, los límites de $y$ ). Así que el problema se convierte en la resolución de $c$ en: $$\int_{-1}^{\infty}\int_0^{y+1}ce^{-x-y}\,dxdy=1$$ Ahora que se ve el dominio no nulo de $f(x,y)$ y sus límites, dejaré encontrar $F(y)$ para ti. Sólo para empezar, estoy asumiendo $F(y)$ es la distribución marginal de $y$ (ya que $F$ es sólo una función de $y$ Lo asumo, aunque en mis clases utilizamos una notación diferente), por lo que utilizarías la fórmula: $$F(y)=\int_xf(x,y)dx$$ lo que significa que integra $f(x,y)$ en $x$ (cuáles son los límites de $x$ ?).