La cuantización del momento angular: es Dirac prueba de mal?

Question

Estoy tratando de comprender el físico de la prueba del teorema en la estructura del espectro de los operadores de momento angular (me dice que esta prueba es debido a Dirac). Me voy a referir a Ballentine del libro, cap. 3, sección 1.

El momento Angular de los operadores de $J_x, J_y, J_z$, con independencia de la definición que adoptamos, está obligado a satisfacer a las relaciones de conmutación

$$\tag{AMCR} [J_x, J_y]=iJ_z,\ [J_y, J_z]=iJ_x,\ [J_z, J_x]=iJ_y,$$ lo que implica, $$[J^2, J_z]=0.$$ Siguiente Ballentine del libro, pretendemos que a partir de esas relaciones solo podemos inferir:

1. $J^2$ $J_z$ puros punto del espectro;
2. la posible autovalores de a $J^2$ son de la forma $j(j+1)$ para una media entero $j$;
3. para cada autovalor $j(j+1)$ de $J^2$, $J_z$ tiene los correspondientes autovalores $m=-j, -j+1 \ldots j$. Los autovalores son simultáneos, es decir que por cada uno de ellos existe un ket $\lvert j, m\rangle$ tal que $J^2\lvert j, m\rangle=j(j+1)\lvert j, m\rangle$ y $J_z\lvert j, m\rangle=m\lvert j, m\rangle$. $J_z$ no tiene más simultánea autovalores con $J^2$: en particular, el espectro de los operadores, es discreta.

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Te voy a dar un esbozo de la prueba, haciendo hincapié en la problemática partes en cursiva. Si es necesario, se puede seguir la evidencia completa en el enlace de arriba.

Deje $\lvert \beta, m\rangle$ ser un simultánea eigenket de $J^2, J_z$ respectivamente.

Paso 1) vamos a demostrar que $\beta \ge m^2$.

Paso 2) Deje $j$ ser el máximo valor permisible de $m$ fijos $\beta$. A continuación, la aplicación de una escalera operador $J_+$$\lvert \beta, j\rangle$, podemos ver que $J_+\lvert \beta, j\rangle=0$. (*)

Paso 3) resulta que $\beta=j(j+1)$ y $-j=\min(m)$.

Paso 4) Debido a la existencia de la escalera de los operadores, los autovalores de a $J_z$ son enteros separados (!). En particular, la diferencia entre el $j$ $-j$ debe ser entero y por lo $j$ será de la mitad entero. $\square$

El paso 2 y 4 son molestas. Paso 4 parece asumir implícitamente que el si $\lvert j, m'\rangle$ es un eigenket entonces puede ser alcanzado por las sucesivas aplicaciones de la escalera de los operadores. Por ejemplo, si $m'>m$ a continuación, se asume implícitamente que el $\lvert j, m'\rangle=J_+J_+\ldots J_+\lvert j,m\rangle$. No entiendo por qué esto debería ser el caso.

Me volvería a aceptar cualquier sugerencia o referencia en la pregunta. Gracias.

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(*) EDITAR había una pregunta aquí, que ahora está resuelto. Ver Peter Taylor comentario y AlbertH respuesta a continuación. La pregunta fue: "Para ello, el autor utiliza implícitamente el hecho de que $j$ es un autovalor de a$J^2$, por lo que un eigenket $\lvert \beta, j\rangle$ existe. Esto no parece obvio para mí". final de la edición

Answer 1

No sé el mencionado libro.
Sin embargo, sobre el Paso 2, $J_x, J_y, J_z$ son generadores de una representación unitaria de $SO(3)$ que es un compacto de Lie del grupo. Por Peter-Weyl teorema de todos los irreductible unitaria representación de un compacto de Lie del grupo finito-dimensional. Por lo $J_z, J^2$ se compone de sí mismo-adjoint finito-dimensional de los operadores y, como tal, se admite al menos un autovector.

Editar

Deje $J_x, J_y, J_z$ ser una representación irreducible de las anteriores reglas de conmutación.
Por Schur del lexema, $[J^2, J_i] = 0$ por cada $i\in\{x, y, z\}$, implica $$ J^2 = \beta \mathbb yo $$ $J_z$ es finito-dimensional auto adjunto del operador, por lo tanto diagonalizable.
Tomemos un vector propio, $\lvert m \rangle$$J_z$, con aplicaciones repetidas de $J_-$ $J_+$ se puede construir una secuencia de vectores propios $$ s := \{\lvert m - h \rangle, \dotsc, \lvert m - 1\rangle, \lvert m \rangle, \lvert m + 1 \rangle, \dotsc,\lvert m + k \rangle \} $$ Secuencia de arriba es finita debido a que sus elementos son independientes de los vectores de lo finito-dimensional de la representación del espacio $V$.
Vamos a llamar a $S$ el subespacio generado por los vectores en $s$. Las igualdades $$ J_x = \frac 1 2 (J_+ + J_-)\\ J_y = \frac 1 {2i} (J_+ - J_-) $$ mostrar que $S$ es un invariante espacio para $J_x, J_y, J_z$. Ya que la representación es irreductible $S$ debe coincidir con $V$ y otros no (independiente) vectores propios de a $J_z$ puede existir.