Necesito dar un contraejemplo contra el siguiente teorema:
Supongamos que $H \subset \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q})$ es un subgrupo. Entonces tenemos $\mathbb{Q}(\zeta_n)^H = \mathbb{Q}(\eta_H)$ con $\eta_H = \sum_{\sigma \in H} \sigma(\zeta_n)$ el período gaussiano.
Este teorema es cierto para $n = p$ primo, pero no para el general $n$ . Hasta ahora, mi intento es el siguiente. Tomamos $n = 8$ . Entonces $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_8)/\mathbb{Q}) \cong (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\ast = \{1,3,5,7\} \cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ .
Ahora tenemos el subcampo $\mathbb{Q}(\zeta_4) = \mathbb{Q}(i)$ ya que $4 \mid 8$ . También tenemos el subcampo $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ desde $\zeta_8 + \zeta_8^{-1} = 2 \cos(2\pi/8) = \sqrt{2}$ . Por lo tanto, tenemos también el subcampo cuadrático $\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ . Observe que $1,5$ mantener $i$ fija, por lo que según el teorema anterior, tenemos $$ \mathbb{Q}(i) = \mathbb{Q}(\zeta_8)^{\{1,5\}} = \mathbb{Q}(\zeta_8 + \zeta_8^5). $$ Estoy atascado en este punto, ¿cómo derivar una contradicción de esto?
