Integración de $\int \frac1{x} dx$ por rendimiento de las piezas $\int\frac1{x}dx=\int\frac1{x}dx-1$ . ¿Dónde está el error?

Question

No entiendo dónde está el error en los siguientes pasos:

$$\int \frac{1}{x}dx = \int x \frac{1}{x^2}dx = -\int x (-\frac{1}{x^2})dx = -\int x(\frac{1}{x})'dx = -x\frac{1}{x} + \int \frac{1}{x}dx = -1 + \int \frac{1}{x}dx$$

Así que: $$\int \frac{1}{x}dx = \int \frac{1}{x}dx -1$$

---

También: ¿Por qué la integral de esta función es $\ln x$ ? ¿Cómo se ha llegado a esa conclusión?

Answer 1

$\int\frac{1}{x}dx$ denota el conjunto de todas las antiderivadas de $\frac{1}{x}$ . Ha mostrado una función $f$ es dicha antiderivada si $f-1$ también lo es. Necesitas otro método para demostrar que es un logaritmo. Puedes notar, por ejemplo, que $$\frac{dy}{dx}=\frac1x\implies\frac{dx}{dy}=x\implies x\propto\exp y\implies y=\ln x+C.$$ (Debido a la discontinuidad en $x=0$ , $C$ en este contexto es localmente constante. Por ejemplo, si $x$ es una variable real, podemos elegir $y-\ln|x|$ para tener un $\operatorname{sign}x$ -que, por lo demás, es constante).

Answer 2

La razón por la que el resultado "parece contradictorio" es porque estás intentando estimar una integral indefinida. Una integral indefinida como $$ \int \frac1x dx $$ da un conjunto de respuestas. Así que $$ \int \frac1x dx = \{f: f(x) = \log x + a \text{ where } a \in \mathbb{R} \} $$ Así que la igualdad que tienes es en realidad una igualdad de conjunto. Es decir $$ \{f: f(x) = \log x + a \text{ where } a \in \mathbb{R} \} - 1 = \{f: f(x) = \log x + a \text{ where } a \in \mathbb{R} \} $$ y no hay nada malo matemáticamente.

Tus pasos no son erróneos, sólo que no tienen en cuenta la igualdad del conjunto que muestras.

La razón por la que $$ \int \frac1x dx = \log x + a $$ se debe principalmente a la definición de la función exponencial $\exp$ y su relación con el logaritmo $\log$ .