¿Por qué la ley de Gauss para la gravedad no se aplica para una masa no limitada, continua y homogénea?

Question

Considere Ley de Gauss para la gravedad en su forma diferencial:

$$\vec{\nabla}\cdot \vec{g}=-4\pi G\rho,$$ o en su forma integral:

$$\iint\vec{g}\cdot d\vec{A}=-4\pi G M.$$

Esta ley tiene un sentido intuitivo. Si no hay materia, ningún flujo neto atraviesa una superficie que encierra un volumen si hay una masa presente en este volumen.
¿Pero qué pasa si consideramos una distribución de masa no limitada, continua y homogénea? El valor de $\vec{g}$ es cero en todas las partes de la distribución. Por tanto, la integral de superficie de $\vec{g}$ sobre toda superficie cerrada es cero. Esto contradice claramente la ley de Gauss, que dice que esta integral tiene el valor $-4\pi GM$ , $M$ siendo la masa total ( $\rho dV$ ) dentro del volumen.
¿por qué es así? ¿Hay alguna razón matemática (aunque no veo por qué debería ser así) o simplemente la existencia de la distribución de masas propuesta no es realista? ¿O qué?

Hago una edición porque piense en He cometido un error. Respecto a la interpretación de la ley de Gauss. Al evaluar la integral de superficie (por lo que piense en ), hay que tomar el valor del $\vec{g}$ campo en la superficie. Sólo hay que considerar el $\vec{g}$ campo producido por la masa dentro (y sobre) la superficie. ¡Lo cual está perfectamente bien definido! Cuando uno tiene una distribución de cargas eléctricas puede encapsular algunas de ellas y calcular la integral de Gass. Las integrales de las otras cargas se anulan (están fuera de la envoltura). Siempre que la distribución sea finita. Si la distribución no es finita, ya no se puede decir que los campos producidos se cancelan. Simplemente porque el campo que producen en la envoltura que encierra una parte acotada de la distribución es no acotado (infinito), y en este caso, la integral no está bien definida. Los valores no limitados (infinitos) simplemente no se cancelan cuando se suman en todas las direcciones.

De alguna manera creo que esta pregunta está relacionada con este pregunta que se hizo hace dos días. La pregunta se refiere a si está permitido considerar distribuciones de carga continuas en las ecuaciones de Maxwell. ¿Podemos considerar distribuciones de masa continuas en la gravedad newtoniana clásica? Si consideramos distribuciones de masa discretas podemos imaginar una superficie alrededor de cada masa, o conjunto de masas. La contribución de las masas exteriores al flujo gravitatorio total a través de la superficie es cero. Sólo las masas del interior de la superficie contribuyen al flujo total. La forma integral de la ley de Gauss se refiere al flujo (integral de superficie), mientras que la forma diferencial se refiere a los valores locales (puntuales). En un planeta de un universo con una cantidad ilimitada de masas discretas, todavía podré estar de pie, es decir, existe una fuerza de gravedad. Sin embargo, el flujo a través de la superficie que rodea al planeta, debido a todas las demás masas, será nulo. ¿O no? Pero, ¿y si hacemos que la distribución sea continua? Ya no podré estar en el planeta (aparte de que no puedo caminar por una distribución de masas continua). La gravedad es nula. La contribución a $\vec{g}$ en un punto de la superficie envolvente (del planeta, que ahora se ha convertido en una esfera de masa continua rodeada por una cantidad no limitada de masa continua), será la suma de dos contribuciones no limitadas: la de la masa no limitada que reside en el espacio a un lado del plano tangente al punto, y una al otro lado. Se cancelarán $\vec{g}$ para cada punto de la superficie) causada por la masa dentro de la superficie. Aunque las dos contribuciones son infinitas, la diferencia será finita. Vagamente veo una conexión con un espacio afín (y con la renormalización en la teoría cuántica de campos: aquí las masas infinitas se hacen finitas, pero también se pueden mantener las masas infinitas y sólo mirar la diferencia de masas; ohooooh, lo que he escrito ).
Así que la ley de Gauss no se aplica para masas continuas y no ligadas (ohoooh, ¿lo que he escrito? Si hacemos que la distribución continua sea discreta (un número ilimitado de distribuciones de masas continuas separadas), entonces podemos caminar sobre cada masa de esta distribución (si son lo suficientemente grandes). Y podemos colocar una superficie envolvente alrededor de cada masa y ver que la fuerza de gravedad es distinta de cero en la superficie de cada masa.
¡Oh! Seguro que se me ha pasado algo por alto (¿rigor matemático?).

La forma integral de la ley de Gauss es (para mí) mucho más fácil de digerir que la forma diferencial (que es la que supuestamente causó un problema en la pregunta enlazada). Por ejemplo, en el espacio vacío, la forma integral es obvia, pero ¿qué pasa con la forma diferencial? Efectivamente, $\rho$ es cero por ahí, pero $\vec{g}$ no tiene por qué serlo.

Answer 1

Para derivar la ley de Gauss para la gravedad, se empieza con la ley de gravitación de Newton y se integra en toda la región. Luego, se toma la divergencia de ambos lados de la ecuación, y se reordena.

La integral, en este caso, podría escribirse así:

$$ \vec{\bf g}=-G\rho\iiint \frac{{\bf r}-{\bf s}}{||{\bf r}-{\bf s}||^3}\ d^3s $$ El problema, aquí, es que la integral triple es una integral impropia que no tiene un valor único y distinto. En cambio, su valor cambia dependiendo de cómo se realice la integral: es condicionalmente convergente.

Para ver esto, considere el equivalente 1D* de la integral para $r=0$ : $$ \int_{-\infty}^\infty \frac{s}{|s|}\ ds $$ Si evalúa esto en torno a $s=0$ , se obtiene $$ \lim_{a\to\infty} \int_{-a}^a \frac{s}{|s|}\ ds = \lim_{a\to\infty} \int_{-a}^0 -1\ ds + \int_0^a\ ds = \lim_{a\to\infty} -a+a=0 $$ Sin embargo, si se evalúa en torno a $s=1$ , se obtiene $$ \lim_{a\to\infty} \int_{1-a}^{a+1} \frac{s}{|s|}\ ds = \lim_{a\to\infty} \int_{1-a}^0 -1\ ds + \int_0^{a+1}\ ds = \lim_{a\to\infty} (1-a)+(a+1)=2 $$ Como resultado, se puede obtener un valor diferente en función de la elección del punto de referencia. Lo mismo ocurre con nuestra integral triple.

Para conseguir $\vec{\bf g}=0$ tenemos que elegir el punto de referencia ${\bf s}={\bf r}$ (que es la opción físicamente más razonable). Sin embargo, se puede integrar con éxito en coordenadas esféricas utilizando ${\bf s}=0$ como punto de referencia, si se realiza la integración en un orden determinado... que produce la solución $$ \vec{\bf g}=-\frac{2\pi^2 G\rho}{r}\hat{\bf r} $$

Este también no es una solución a la ecuación de la Ley de Gauss, ya que la divergencia es $-\frac{2\pi^2 G\rho}{r^2}$ . Y si se cambia el método específico de integración, puede cambiar aún más el resultado.

La derivación de la Ley de Gauss supone que la integral se comporta bien. Si no lo es, entonces no se puede mover la divergencia desde fuera de la integral hasta dentro de ella, y la derivación falla.

Sin embargo, cuando se trabaja con una masa total finita, la integral resultante es absolutamente convergente: la elección del punto de referencia es irrelevante y se obtiene el mismo resultado para todos los valores. En este caso, se puede mover la divergencia desde fuera de la integral hacia dentro, y todo funciona bien.

---

* Este es el equivalente de 1D porque $\text{div} \frac{x}{|x|}{\bf i} = 2\delta(x)$ de la misma manera que $\text{div} \frac{\bf r}{|{\bf r}|^3}=4\pi\delta({\bf r})$ .