¿Por qué la ley de Gauss para la gravedad no se aplica para una masa no limitada, continua y homogénea?

Question

Considere Ley de Gauss para la gravedad en su forma diferencial:

$$\vec{\nabla}\cdot \vec{g}=-4\pi G\rho,$$ o en su forma integral:

$$\iint\vec{g}\cdot d\vec{A}=-4\pi G M.$$

Esta ley tiene un sentido intuitivo. Si no hay materia, ningún flujo neto atraviesa una superficie que encierra un volumen si hay una masa presente en este volumen.
¿Pero qué pasa si consideramos una distribución de masa no limitada, continua y homogénea? El valor de $\vec{g}$ es cero en todas las partes de la distribución. Por tanto, la integral de superficie de $\vec{g}$ sobre toda superficie cerrada es cero. Esto contradice claramente la ley de Gauss, que dice que esta integral tiene el valor $-4\pi GM$ , $M$ siendo la masa total ( $\rho dV$ ) dentro del volumen.
¿por qué es así? ¿Hay alguna razón matemática (aunque no veo por qué debería ser así) o simplemente la existencia de la distribución de masas propuesta no es realista? ¿O qué?

Hago una edición porque piense en He cometido un error. Respecto a la interpretación de la ley de Gauss. Al evaluar la integral de superficie (por lo que piense en ), hay que tomar el valor del $\vec{g}$ campo en la superficie. Sólo hay que considerar el $\vec{g}$ campo producido por la masa dentro (y sobre) la superficie. ¡Lo cual está perfectamente bien definido! Cuando uno tiene una distribución de cargas eléctricas puede encapsular algunas de ellas y calcular la integral de Gass. Las integrales de las otras cargas se anulan (están fuera de la envoltura). Siempre que la distribución sea finita. Si la distribución no es finita, ya no se puede decir que los campos producidos se cancelan. Simplemente porque el campo que producen en la envoltura que encierra una parte acotada de la distribución es no acotado (infinito), y en este caso, la integral no está bien definida. Los valores no limitados (infinitos) simplemente no se cancelan cuando se suman en todas las direcciones.

De alguna manera creo que esta pregunta está relacionada con este pregunta que se hizo hace dos días. La pregunta se refiere a si está permitido considerar distribuciones de carga continuas en las ecuaciones de Maxwell. ¿Podemos considerar distribuciones de masa continuas en la gravedad newtoniana clásica? Si consideramos distribuciones de masa discretas podemos imaginar una superficie alrededor de cada masa, o conjunto de masas. La contribución de las masas exteriores al flujo gravitatorio total a través de la superficie es cero. Sólo las masas del interior de la superficie contribuyen al flujo total. La forma integral de la ley de Gauss se refiere al flujo (integral de superficie), mientras que la forma diferencial se refiere a los valores locales (puntuales). En un planeta de un universo con una cantidad ilimitada de masas discretas, todavía podré estar de pie, es decir, existe una fuerza de gravedad. Sin embargo, el flujo a través de la superficie que rodea al planeta, debido a todas las demás masas, será nulo. ¿O no? Pero, ¿y si hacemos que la distribución sea continua? Ya no podré estar en el planeta (aparte de que no puedo caminar por una distribución de masas continua). La gravedad es nula. La contribución a $\vec{g}$ en un punto de la superficie envolvente (del planeta, que ahora se ha convertido en una esfera de masa continua rodeada por una cantidad no limitada de masa continua), será la suma de dos contribuciones no limitadas: la de la masa no limitada que reside en el espacio a un lado del plano tangente al punto, y una al otro lado. Se cancelarán $\vec{g}$ para cada punto de la superficie) causada por la masa dentro de la superficie. Aunque las dos contribuciones son infinitas, la diferencia será finita. Vagamente veo una conexión con un espacio afín (y con la renormalización en la teoría cuántica de campos: aquí las masas infinitas se hacen finitas, pero también se pueden mantener las masas infinitas y sólo mirar la diferencia de masas; ohooooh, lo que he escrito ).
Así que la ley de Gauss no se aplica para masas continuas y no ligadas (ohoooh, ¿lo que he escrito? Si hacemos que la distribución continua sea discreta (un número ilimitado de distribuciones de masas continuas separadas), entonces podemos caminar sobre cada masa de esta distribución (si son lo suficientemente grandes). Y podemos colocar una superficie envolvente alrededor de cada masa y ver que la fuerza de gravedad es distinta de cero en la superficie de cada masa.
¡Oh! Seguro que se me ha pasado algo por alto (¿rigor matemático?).

La forma integral de la ley de Gauss es (para mí) mucho más fácil de digerir que la forma diferencial (que es la que supuestamente causó un problema en la pregunta enlazada). Por ejemplo, en el espacio vacío, la forma integral es obvia, pero ¿qué pasa con la forma diferencial? Efectivamente, $\rho$ es cero por ahí, pero $\vec{g}$ no tiene por qué serlo.

Answer 1

¿Hay alguna razón matemática?

Sí. La ecuación $\nabla \cdot \mathbf g(\mathbf r) = -4\pi G\rho_0$ en el dominio $\mathbb R^3$ no admite una solución única en ausencia de condiciones de contorno, incluso si añadimos también la ecuación $\nabla \times \mathbf g = 0$ . Después de todo, $\mathbf g_1(\mathbf r) =( -4\pi G\rho_0 x )\hat x$ es una solución a ambas ecuaciones, al igual que $\mathbf g_2(\mathbf r)=(-4\pi G \rho_0 y) \hat y$ .

Para distinguirlos, necesitamos prescribir condiciones de contorno. En un dominio infinito, esto se hace especificando el límite del campo vectorial como $\mathbf r$ va al infinito espacial en todas las direcciones $^\dagger$ . Esta prescripción tendría la forma de una función vectorial en la biesfera, $\mathbf f: S^2 \rightarrow \mathbb R^3$ que asocia un vector "límite" a cada dirección en el espacio.

Todo esto está bien, pero ahora se quiere imponer las exigencias de simetría de homogeneidad e isotropía a $\mathbf g$ y esto no es posible. La homogeneidad implica que $\mathbf g$ es constante, pero la isotropía implica que $\mathbf g\mapsto -\mathbf g$ después de un $180^\circ$ rotación alrededor de cualquier eje. La única opción posible compatible con ambas simetrías es $\mathbf g=0$ en todas partes, pero esto no es compatible con $\nabla \cdot \mathbf g=-4\pi G\rho_0\neq 0$ . Por lo tanto, mientras que hay una infinidad de soluciones a la ecuación $\nabla \cdot \mathbf g=-4\pi G \rho_0$ con $\rho_0\neq 0$ , $\mathbf g=0$ (el único campo vectorial homogéneo e isótropo) es no uno de ellos.

---

$^\dagger$ Este límite no tiene por qué existir: se podría imaginar un campo vectorial cuya magnitud crece sin límites al aumentar la distancia desde algún punto de referencia. En estos casos, bastaría con elegir una superficie arbitraria que encierre su región de interés y prescribir las condiciones de contorno en esa superficie.

Answer 2

El problema es que estás proponiendo fuerzas infinitas sin darte cuenta. Considera un punto cualquiera de la masa homogénea infinita y dibuja un plano que pase por ese punto. La fuerza gravitatoria total sobre un pequeño trozo de materia en el punto elegido, procedente de todo el material de un lado del plano (o si lo prefieres, de todo el material dentro de una región que subtiende algún ángulo sólido finito en el punto), es infinita. La fuerza gravitatoria total del material del otro lado del plano también es infinita. La fuerza total es la suma de estas infinitas fuerzas opuestas. Esa suma no es cero, sino indefinida.

Desde un punto de vista físico se puede decir que el problema se ha planteado de forma no física: se ha propuesto un sistema físico imposible, y la gravedad newtoniana no tiene ninguna predicción que hacer más que advertirnos de que la situación es efectivamente no física. Desde un punto de vista matemático, la conclusión es que la argumentación a partir de la simetría debe abordarse con cuidado cuando está en juego el infinito. Una igualdad que se mantiene para cantidades finitas puede no estar bien definida matemáticamente para cantidades infinitas.

En cuanto se hace finita la distribución, las fuerzas también se hacen finitas, y ahora $\bf g$ está bien definido y todo funciona correctamente.

Observación añadida sobre la homogeneidad

Me gustaría añadir que la suposición de una homogeneidad perfecta también es cuestionable en este caso. En la ciencia en general, suele ser válido suponer la homogeneidad como primera aproximación. Para ello, no es necesario pensar que el sistema es realmente homogéneo, pero un modelo homogéneo es útil porque se aproxima lo suficiente a cómo es el sistema en realidad como para poder utilizarlo para obtener una buena perspectiva. Sin embargo, en un sistema infinito con efectos de largo alcance (por ejemplo, gravitacionales o electromagnéticos), una pequeña desviación de la homogeneidad, en una región suficientemente grande, podría causar fuerzas grandes o incluso infinitas. Y como, de hecho, un sistema tendrá desviaciones de la homogeneidad en algún nivel, en este caso no se puede suponer que un modelo homogéneo produzca una buena aproximación de primer orden. Puede que sí, o puede que no: hay que seguir investigando.

Answer 3

El valor de ${\bf g}$ no sea constante en este entorno. Tampoco ${\bf g}$ estar bien definida con sólo la distribución de carga infinita dada. Se necesitan algunas condiciones de contorno. Éstas dependerán de cómo se construya el sistema infinito como límite de sistemas finitos. Esta misma cuestión se plantea en los intentos de construir un "Versión "newtoniana de Cosmología FRW . En este intento es necesario elegir un punto que sea el centro del universo.

Answer 4

Aunque algunas de las respuestas existentes (de las cuales la de Mike Stone me parece la más esclarecedora) hacen puntos válidos, no parece haber suficiente énfasis en la razón por la que la aplicación de la ley de Gauss falla para OP y algunos de los que responden. Y no es porque la ley de Gauss "no funcione" para distribuciones de masa infinitas (la ley de Gauss es una local ecuación que conecta la variación del campo gravitatorio cerca de un punto determinado con la densidad de la masa en ese punto, no hay razón para que falle para la densidad homogénea), sino por no encontrar la forma más general de campo gravitatorio compatible con las simetrías del problema (homogeneidad e isotropía). Y para encontrar dicha forma hay que tener en cuenta la ambigüedad inherente en la definición del campo gravitatorio para dicho sistema de masa infinita. A su vez, la razón de tal ambigüedad es simple: no hay marcos de referencia inerciales en el mundo considerado .

Obsérvese que la gravedad actúa sobre todo, incluidos los observadores, y si hay una densidad de masa constante en todas partes, entonces es imposible construir (incluso en principio) un cuerpo de referencia sobre el que no actúe ninguna fuerza gravitatoria, de modo que pueda servir de base para un sistema de referencia inercial. Cuando consideramos sólo distribuciones de masas finitas, un "observador en el infinito" (entendido como límite para una secuencia de observadores cada vez más distantes de todas las masas) podría servir como tal referencia, definiendo una clase privilegiada de marcos de referencia inerciales. Pero para un sistema infinito de masas esta construcción fallaría, y todos los marcos de referencia posibles deben considerarse no inerciales.

Aunque todos los marcos de referencia que podemos construir serían no inerciales, al menos podemos seleccionar no giratorio marcos en los que no se producen fuerzas de Coriolis. Así llegamos a una clase de preferido Los marcos de referencia no rotatorios para este problema: sus sistemas de coordenadas cartesianas $(t,x^a)$ están relacionados por las transformaciones: $$ {x^a}' = R^a{}_bx^b+{d^a}'(t) \tag{t}, $$ donde $R^a{}_b$ es una matriz de rotación constante, y $d^a(t)$ es un vector de traslación que depende arbitrariamente en un tiempo $t$ . Todas las magnitudes físicas se transforman de forma obvia bajo dicha transformación. En particular, incluso después de fijar el origen y la orientación de un sistema de referencia, el campo de aceleración gravitacional en un momento dado sólo puede definirse hasta una constante aditiva global, la aceleración del sistema de referencia no inercial. En otras palabras, existe una "transformación gauge" para la aceleración gravitacional: $$ \mathbf{g}'(\mathbf{r})= \mathbf{g}(\mathbf{r})+\mathbf{a}. \tag{g} $$ La aceleración gravitacional es, pues, intrínsecamente ambigua, lo que no es sorprendente, ya que si todo el mundo cae libremente con una aceleración $a$ en todas partes no hay ningún experimento que pueda detectar tal aceleración. Obsérvese que, si bien la posición, la velocidad y la aceleración por sí mismas son ambiguas, la posición relativa, la velocidad relativa y la aceleración relativa entre pares de cuerpos no lo son.

No tener en cuenta la existencia de tales ambigüedades en la definición de la aceleración gravitatoria explica el fracaso de OP (y de algunos de los que responden) para encontrar un campo de aceleración gravitatoria compatible con la homogeneidad e isotropía del universo, ya que el único campo vectorial que permanece inalterado bajo rotaciones y traslaciones arbitrarias es trivial.

El valor de $g⃗$ es cero en todas las partes de la distribución.

Este es el error, porque para un campo de medición para ser compatible con las simetrías del espacio-tiempo su acción no tiene que dejarlo inalterado, sino que esta acción debe ser equivalente a alguna transformación gauge. Es fácil ver que para un campo vectorial $$ \mathbf{g}(\mathbf{r})=\alpha \, (\mathbf{r} - \mathbf{b} ),\tag{f} $$ donde $\alpha$ es un parámetro escalar, las rotaciones y traslaciones espaciales equivalen a un cambio en una constante vectorial $\mathbf{b}$ que no es más que una transformación gauge $(g)$ . Es fácil ver que $(f)$ es la forma más general de campo $\mathbf{g}$ (en un momento dado del tiempo) compatible con la homogeneidad y la isotropía.

Al insertar el campo $\mathbf{g}$ en la forma $(f)$ en la ley de Gauss encontramos $$\alpha=-\frac{4\pi}{3}G\rho_0.$$ Si hacemos un fijación del manómetro seleccionando un "centro del Universo" y situándolo en el origen, el campo gravitatorio resultante sería entonces: $$ \mathbf{g}(\mathbf{r})=-\frac{4\pi}{3}G\rho\, \mathbf{r}. $$ Para encontrar la evolución con el tiempo de todas las magnitudes debemos introducir primero las velocidades iniciales (también compatibles con la homogeneidad y la isotropía y que tienen una ambigüedad similar relacionada con $(t)$ ), integrar el movimiento de las masas bajo el campo gravitatorio y resolver la ecuación de continuidad: $$ \frac{\partial \rho }{\partial t} +\mathbf{\nabla}\cdot (\rho\mathbf{v})=0. $$ La solución resultante sería esencialmente equivalente a Solución cosmológica FRW de la relatividad general con materia "parecida al polvo" (hasta la redefinición de algunos parámetros).

Answer 5

Como el campo gravitacional es irrotacional, $\vec g$ puede derivarse de un potencial: $$\vec g = -\vec \nabla \Phi$$ La ecuación de divergencia se convierte entonces en $$\Delta \Phi = 4\pi G\rho$$ Las EDP de tipo laplaciano suelen resolverse mediante las funciones propias (estáticas) de "onda plana" del laplaciano, a saber $$\psi_{\vec k}(\vec r)=e^{i\vec k\cdot \vec r}$$ Esto equivale a representar $\Phi$ y $\rho$ como integrales de Fourier: $$\Phi(\vec r)=\int \Phi(\vec k) e^{i\vec k\cdot \vec r}d^3 \vec k$$ $$\rho(\vec r)=\int \rho(\vec k) e^{i\vec k\cdot \vec r}d^3 \vec k$$ En la EDP esto lleva a $$-\int \vec k^2\Phi(\vec k) e^{i\vec k\cdot \vec r}d^3 \vec k=4\pi G\int \rho(\vec k) e^{i\vec k\cdot \vec r}d^3 \vec k$$ Al igualar los coeficientes del lado izquierdo y del lado derecho se obtiene $$\Phi(\vec k)=-4\pi G\frac{\rho(\vec k)}{\vec k^2}$$ Los coeficientes $\rho(\vec k)$ se puede obtener mediante la transformada de Fourier, es decir $$\rho(\vec k)=N\int \rho(\vec r) e^{-i\vec k\cdot \vec r}d^3 \vec r$$ con el coeficiente de normalización de Fourier $N$ (No puedo recordarlo cada vez que uso FT, pero de todos modos es irrelevante para la conclusión). Pero ha requerido $\rho(\vec r)=\rho_0=const.$ y así $$\rho(\vec k)=\rho_0 N\int e^{-i\vec k\cdot \vec r}d^3 \vec r=\rho_0 \delta(\vec k)$$ Esto es intuitivo porque la componente de Fourier para $\vec k=0$ no es otra cosa que la parte constante de la función a transformar (en este caso la densidad, que se ha fijado constante por definición). Por lo tanto, tenemos para el potencial gravitatorio estático la "solución" $$\Phi(\vec r)=-4\pi G\int \frac{\rho_0 \delta(\vec k)}{\vec k^2} e^{i\vec k\cdot \vec r}d^3 \vec k$$ Esto es obviamente divergente para $\vec k\to 0$ Por lo tanto, no existe ninguna solución, al menos no en el $L^2$ -El formalismo del espacio de Hilbert.

Su suposición de que $\vec g=0$ es una solución errónea, lo que también podría comprobarse mucho más rápidamente sustituyéndolo en la ecuación de la ley de Gauss directamente: $$\vec \nabla \cdot \vec g=\vec \nabla \cdot \vec 0=0 \not= -4\pi G\rho_0$$ Incluso una constante general $\vec g$ no cambiaría esto, porque sus derivadas son todas cero también.