Prueba $3\mathbb{Z}+1=\{6\mathbb{Z}+1\}\cup\{6\mathbb{Z}+4\}$

Question

Me preguntaba si alguien podría confirmar que he probado correctamente la siguiente igualdad.

Además, para la parte II debería haber dejado $n\in \mathbb{Z}$ en lugar de $n\in 6\mathbb{Z}+1$ ¿o estaba en lo cierto?

Gracias por su ayuda.

Recuerdo de los números enteros $a,b,a\mathbb{Z}+b=\{a\mathbb{Z}+b$ | $z\in\mathbb{Z}\}$

Prueba $3\mathbb{Z}+1=\{6\mathbb{Z}+1\}\cup\{6\mathbb{Z}+4\}$

NTS:

I) $3\mathbb{Z}+1 \subseteq \{6\mathbb{Z}+1\}\cup\{6\mathbb{Z}+4\}$

II) $\{6\mathbb{Z}+1\}\cup\{6\mathbb{Z}+4\}\subseteq 3\mathbb{Z}+1$

I) Supongamos $n\in \mathbb{Z}$ entonces $\exists k\in \mathbb{Z}$ s.t. $n=2k$ o $n=2k+1$

Para $n=2k$ , $n= 3n+1$ = $3(2k)+1$ = $6k+1$$\en 6\mathbb{Z}+1$ Por lo tanto $3\mathbb{Z}+1 \subseteq \{6\mathbb{Z}+1\}$

Ahora, para $n=2k+1$ , $n=3n+1$ = $3(2k+1)+1$ = $6k+3+1=6k+4$$\en 6\mathbb{Z}+4$ Por lo tanto $3\mathbb{Z}+1 \subseteq \{6\mathbb{Z}+1\}$

Hemos demostrado $3\mathbb{Z}+1 \subseteq \{6\mathbb{Z}+1\}\cup\{6\mathbb{Z}+4\}$

II) Supongamos ahora que $n\in 6\mathbb{Z}+1$ entonces $\exists l\in \mathbb{Z}$ s.t. $n=6l+1$ Entonces $n=6l+1=3(2l)+1\in 3\mathbb{Z}+1$ Así, $\{6\mathbb{Z}+1\}\subseteq 3\mathbb{Z}+1$

Supongamos que $n\in 6\mathbb{Z}+4$ entonces $\exists l\in \mathbb{Z}$ s.t. $n=6l+4$ Entonces $n=6l+4=3(2l+1)+1\in 3\mathbb{Z}+4$ Así, $\{6\mathbb{Z}+4\}\subseteq 3\mathbb{Z}+1$

Hemos demostrado $\{6\mathbb{Z}+1\}\cup\{6\mathbb{Z}+4\}\subseteq 3\mathbb{Z}+1$

Por lo tanto por I y II hemos demostrado $3\mathbb{Z}+1=\{6\mathbb{Z}+1\}\cup\{6\mathbb{Z}+4\}$ .

Answer 1

Es posible que desee denotar el segundo $n$ de manera diferente, ya que por ejemplo $n=3n+1$ puede crear cierta confusión. También una errata en I), se quiere decir que: "Así $3\Bbb Z+1\subseteq(6\Bbb Z+1)\cup(6\Bbb Z+4)$ " y no "Así $3\Bbb Z+1\subseteq(6\Bbb Z+1)$ ." Por lo demás, todo parece estar bien. También podría optar por la notación $(6\Bbb Z+4)$ en lugar de $\{6\Bbb Z+4\}$ para evitar confusiones.

Answer 2

Para cada número entero $n$ de la forma $3k+1$ tenemos que $k$ es par o impar. En el primer caso, $k=2K$ y $n=6K+1$ en el segundo caso, $k=2K+1$ y $n=6K+4$ Así que $$(3\mathbb{Z}+1) = (6\mathbb{Z}+1)\cup(6\mathbb{Z}+4).$$

Answer 3

Parece razonable, pero tu trabajo está desordenado.

Recordemos que para los escalares $a,d$ y conjuntos escalares $B,C$ entonces: $$\begin{align}a(B\cup C)+d =& \{ax+d: x\in B\cup C\} \\ =& \{ax+d: x\in B\}\cup\{ax+d: x\in C\} \\ =& (aB+d)\cup (aC+d)\end{align}$$

Demostrar que en su propio estilo , entonces utiliza este resultado general y el hecho de que el conjunto de los enteros está compuesto por Impares y enteros pares: $$\Bbb Z= (2\Bbb Z)\cup (2\Bbb Z+1)$$

Por lo tanto, mediante la sustitución se obtendrá lo que se quería demostrar.

$$\begin{align}3\Bbb Z+1 =&~ 3\big(2\Bbb Z \cup (2\Bbb Z+1)\big)+1\\[1ex] =&~ (6\Bbb Z+1)\cup (6\Bbb Z+3+1)\\[1ex] =&~ (6\Bbb Z+1)\cup(6\Bbb Z+4)\end{align}$$

$\blacksquare$

Answer 4

Sugerencia $\ \ \Bbb Z = 2\Bbb Z \cup (2\Bbb Z\!+\!1)$

$\ \ \Rightarrow\, 3 \Bbb Z = 6\Bbb Z \cup (6\Bbb Z\!+\! 3)$

$\ \ \Rightarrow\, 3 \Bbb Z\! +\! 1 = \ \ldots$