Me preguntaba si alguien podría confirmar que he probado correctamente la siguiente igualdad.
Además, para la parte II debería haber dejado n∈Z en lugar de n∈6Z+1 ¿o estaba en lo cierto?
Gracias por su ayuda.
Recuerdo de los números enteros a,b,aZ+b={aZ+b | z∈Z}
Prueba 3Z+1={6Z+1}∪{6Z+4}
NTS:
I) 3Z+1⊆{6Z+1}∪{6Z+4}
II) {6Z+1}∪{6Z+4}⊆3Z+1
I) Supongamos n∈Z entonces ∃k∈Z s.t. n=2k o n=2k+1
Para n=2k , n=3n+1 = 3(2k)+1 = 6k+1\en6Z+1 Por lo tanto 3Z+1⊆{6Z+1}
Ahora, para n=2k+1 , n=3n+1 = 3(2k+1)+1 = 6k+3+1=6k+4\en6Z+4 Por lo tanto 3Z+1⊆{6Z+1}
Hemos demostrado 3Z+1⊆{6Z+1}∪{6Z+4}
II) Supongamos ahora que n∈6Z+1 entonces ∃l∈Z s.t. n=6l+1 Entonces n=6l+1=3(2l)+1∈3Z+1 Así, {6Z+1}⊆3Z+1
Supongamos que n∈6Z+4 entonces ∃l∈Z s.t. n=6l+4 Entonces n=6l+4=3(2l+1)+1∈3Z+4 Así, {6Z+4}⊆3Z+1
Hemos demostrado {6Z+1}∪{6Z+4}⊆3Z+1
Por lo tanto por I y II hemos demostrado 3Z+1={6Z+1}∪{6Z+4} .