Mi pregunta es la continuación natural de la anterior, que se refería a colectores simplécticos : si $(M, P)$ es una variedad de Poisson, ¿qué teoremas de incrustación hay en algún espacio objetivo (me refiero sobre todo a la incrustación en espacios euclidianos o proyectivos, reales o complejos). Habiendo aprendido la lección de la pregunta anterior, estoy dispuesto a ser mucho más modesto: ya que las incrustaciones podrían ser demasiado, ¿existen simplemente mapas de Poisson entre $(M,P)$ y $\Bbb R^n$ o algún espacio proyectivo (con sus estructuras estándar de Poisson no degeneradas)?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No en esta forma. Los mapas de Poisson son de rango decreciente. Si tienes un mapa de Poisson $f$ de $(M,\pi_1)$ a $(M,\pi_2)$ entonces ${\mathrm rank}\,\pi_1(x)\ge {\mathrm rank}\,\pi_2(f(x))$ . Por lo tanto, si la variedad objetivo es simpléctica, entonces $f$ debería ser una inmersión.
Incluso $\mathbb R^2\hookrightarrow \mathbb R^4$ con respecto al soporte estándar de Poisson no es un mapa de Poisson.
La incrustación de una variedad de Poisson, es decir, los submanifolds de Poisson, implica ser una unión de hojas simplécticas. Una variedad de Poisson "universal" que contenga todas las variedades posibles como submúltiplos de Poisson es un poco extraña de imaginar.
La cuestión aquí es que los mapas simplécticos y los mapas de Poisson son bastante diferentes en general.
