Sheafification de un presheaf a través de la etale espacio

Question

Tengo algunos problemas para mostrar que la siguiente obra define un sheafification:

Deje $\mathcal F$ ser un presheaf en $X$, y deje $Et(\mathcal F)$ ser el etale espacio asociado a$\mathcal F$, $\pi:Et(\mathcal F)\rightarrow X$ que es la canónica mapa de la cual se envía un germen $s_x$ un $x$. Si con $U$ nos indican genérica de un conjunto abierto de $X$, entonces el conjunto de secciones de $\pi$ $U$ es $$\mathcal F^+(U)=\{\widetilde s:U\rightarrow Et(\mathcal F)\;\;with\;\; \widetilde s(x)=s_x\;\forall s\in \mathcal F(U)\}$$ Whe dar una cierta topología en $Et(\mathcal F)$ y hacer $\pi$ $\widetilde s$ funciones continuas. De esta manera whe definir la gavilla $\mathcal F^+$ de perfiles continuos de $\pi$, y el de morfismos (para todos los $U$) $$\begin{eqnarray} \phi(U):\mathcal F(U)&\rightarrow& \mathcal F^+(U)\\ s&\mapsto& \widetilde s \end{eqnarray}$$ Ahora si $\mathcal F^+$ satisface la "característica universal", es el sheafification de $\mathcal F$. Supongamos que $\psi$ es una de morfismos de $\mathcal F$ en un genérico gavilla $\mathcal G$; ¿cómo puedo demostrar que existe un único morfismos $\theta:\mathcal F^+\rightarrow\mathcal G$ tal que $\theta\circ\phi=\psi?$

Answer 1

Definición 1 Deje $\mathcal F$ ser un presheaf de conjuntos(o abelian grupos o anillos, etc.) en un toplogical espacio de $X$. Deje $Et(\mathcal F)$ ser distinto de la unión de $\cup_{x \in X} \mathcal F_x$. Deje $U$ ser un subconjunto de X. Deje $s \in \mathcal F(U)$. Denotamos por a $[U, s]$ el subconjunto { $s_x; x \in U$ }$Et(\mathcal F)$. Vamos a Abrir$(X)$ el conjunto de subconjuntos abiertos de $X$. Podemos definir una topología en $Et(\mathcal F)$ como la generada por el subconjunto {$[U, s]; U \in$ Abierto($X), s \in \mathcal F(U)$} de el juego de poder de $Et(\mathcal F)$. Deje $\pi:Et(\mathcal F)\rightarrow X$ ser la canónica mapa de la cual se envía un germen $s_x$$x$. Deje $\mathcal F^+(U)$ el conjunto {$f:U \rightarrow Et(\mathcal F)$; $f$ es un mapa continuo y $\pi f = id_U$}. Claramente $\mathcal F^+(U)$ define una gavilla $\mathcal F^+$$X$.

Lema 2 Deje $\mathcal F^+(U)$ ser como el anterior. Entonces $\mathcal F^+(U)$ = {$f:U \rightarrow Et(\mathcal F)$; $f$ es un mapa, tales que para cada una de las $x \in U$ existe un abierto vecindario $U_x$ $x$ $U$ $s \in \mathcal F(U_x)$ tal que $f(y) = s_y$ por cada $y \in U_x$}.

Prueba:Claro.

Definición 3 Deje $\mathcal F$ ser un presheaf en un toplogical espacio de $X$. Deje $U$ libre subest de $X$. Deje $s \in \mathcal F(U)$ Se define un mapa de $\tilde{s}: U \rightarrow Et(F)$ por $\tilde{s}(x)$ = $s_x$ para cada una de las $x \in U$. Claramente $\tilde{s} \in \mathcal{F^+(U)}$.

Definición 4 Deje $\mathcal F$ ser un presheaf en un toplogical espacio de $X$. Deje $U$ libre subest de $X$. Se define un mapa de $\iota_U: \mathcal F(U) \rightarrow \mathcal F^+(U)$ $\iota_U(s) = \tilde{s}$ donde $\tilde{s}$ está definido en la Definición 3. Claramente $\iota_U$'s definir un morfismos $\iota:\mathcal F \rightarrow \mathcal F^+$. Llamamos a $\iota$ canónica de morfismos.

El siguiente lema es fundametal.

Lema 5 Deje $\mathcal F$ ser una gavilla en un toplogical espacio de $X$. Luego de la canónica de morfismos $\iota:\mathcal F \rightarrow \mathcal F^+$ es un isomorfismo.

Prueba: Deje $U$ libre subest de $X$. Basta probar que $\iota_U: \mathcal F(U) \rightarrow \mathcal F^+(U)$ es un isomorfismo. Deje $s$$t$$\in \mathcal F(U)$. Supongamos que $\iota_U(s)$ = $\iota_U(t)$. Esto significa que $s_x$ = $t_x$ para cada una de las $x \in U$. Por lo tanto, no existe un abierto neghborhood $U_x$ $x$ para exch $x \in U$ tal que $s|U_x$ = $t|U_x$. Desde $\mathcal F$ es una gavilla, $s$ = $t$. Por lo tanto $\iota$ es inyectiva.

Queda por demostrar que $\iota$ es surjective. Deje $\sigma \in \mathcal F^+(U)$. Existe un abierto de la cubierta $U_i$ $U$ $s_i \in \mathcal F(U_i)$ tal que $\sigma(x) = s_i(x)$ por cada $x \in U_i$. Desde $s_i|U_i \cap U_j = s_j|U_i \cap U_j$ por encima de reclamación, no existe $s \in \mathcal F(U)$ tal que $s|U_i$ = $s_i$ para cada una de las $i$. Por lo tanto $\iota(s)$ = $\sigma$. Por lo tanto $\iota$ es surjective. QED

Lema 6 Deje $\mathcal F$ ser un presheaf en un toplogical espacio de $X$. Entonces $\mathcal F^+_x$ = $\mathcal F_x$ para cada una de las $x \in X$.

Prueba:Claro.

Lema 7 Deje $\mathcal F$ $\mathcal G$ ser presheaves en un toplogical espacio de $X$. Deje $f:\mathcal F \rightarrow G$ ser una de morfismos. Deje $U$ ser un subconjunto de a $X$. Deje $\sigma \in \mathcal F^+(U)$. A continuación, el mapa de $f^+_U(\sigma):U \rightarrow G^+(U)$ que envía a $x \in U$ $f_x(\sigma(x))$por cada $x \in U$ pertenece a $\mathcal G^+(U)$.

Prueba:Claro.

Lema 8 Deje $\mathcal F$ $\mathcal G$ ser presheaves en un toplogical espacio de $X$. Deje $f:\mathcal F \rightarrow G$ ser una de morfismos. Deje $\iota_{\mathcal F}:\mathcal F \rightarrow \mathcal F^+$ $\iota_{\mathcal G}:\mathcal G \rightarrow \mathcal G^+$ ser canónica de morfismos. Entonces existe un único morfismos $f^+:\mathcal F^+ \rightarrow \mathcal G^+$ tal que $f^+\iota_{\mathcal F} = \iota_{\mathcal G} f$.

Prueba: Existe la canónica de morfismos $f_x:\mathcal F_x \rightarrow \mathcal G_x$ por cada $x \in X$. Deje $U$ ser un subconjunto de a $X$. Se define un mapa de $f^+_U:\mathcal F^+(U) \rightarrow \mathcal G^+(U)$ mediante el envío de $\sigma \in \mathcal F^+(U)$ $f^+_U(\sigma) \in \mathcal G^+(U)$donde $f^+_U(\sigma)$ se define en el Lema 7. Claramente esto le da un morfismos de presheaves $f^+:\mathcal F^+ \rightarrow \mathcal G^+$$f^+\iota_{\mathcal F} = \iota_{\mathcal G} f$.

Queda por demostrar la singularidad de $f^+$. Deje $\psi:\mathcal F^+ \rightarrow \mathcal G^+$ ser una de morfismos tal que $\psi\iota_{\mathcal F} = \iota_{\mathcal G} f$. Desde $\mathcal F^+_x$ = $\mathcal F_x$ por el Lema 6, $\psi_x$ = $f^+_x$ para cada una de las $x \in X$. Desde $\mathcal F^+$ $\mathcal G^+$ son poleas, por Definición, 1, $\psi$ = $f^+$. QED

La proposición Deje $\mathcal F$ ser un presheaf en un toplogical espacio de $X$. Deje $\mathcal G$ ser una gavilla en un toplogical espacio de $X$. Deje $f:\mathcal F \rightarrow \mathcal G$ ser una de morfismos. Entonces existe un único morfismos $\theta:\mathcal F^+ \rightarrow \mathcal G$ tal que $\theta\iota$ = $f$, donde $\iota:\mathcal F \rightarrow \mathcal F^+$ es la canónica de morfismos.

Prueba: De esta manera se sigue inmediatamente del Lema 5 y Lema 8.