Espectro de operador compacto

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach. ¿Existe un operador compacto no nulo $A: X \to X$ cuyo espectro se compone sólo de cero?

Answer 1

Esto es incorrecto si $\dim X \le 1$ Así pues, dejemos que $\dim X \ge 2$ a partir de ahora.

Dejemos que $A\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ dado por $\hat A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ . Dejemos que $Y \subseteq X$ un subespacio bidimensional y $P\colon X \to X$ una proyección sobre $Y$ (esto existe como $Y$ es de dimensión finita). Sea $S \colon \mathbb R^2 \to Y$ sea un isomorfismo y que $A = S\hat AS^{-1}P$ . Entonces $A^2 = 0$ y $A$ tiene un rango de dimensión finita. Así que $A$ es compacto y $0$ es su único valor espectral.