Si $R$ es IBN, ¿tenemos $K\oplus R^{n}\cong R^n\implies K=0$ ?

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo (unital) con la propiedad del número de base invariante, y sea $K$ ser una izquierda $R$ -tal que $K\oplus R^{n}\cong R^n$ para algunos $n\geq 0$ . ¿Es cierto que $K=0$ ?

Sé que esto es cierto si, por ejemplo $R$ es conmutativo, porque entonces podemos tensor con $R_{\mathfrak{m}}/\mathfrak{m}R_{\mathfrak{m}}$ para un ideal máximo $\mathfrak{m}$ y reducirlo a espacios vectoriales. ¿Sigue siendo válida si sólo asumimos la propiedad IBN?

Answer 1

No en general, incluso para $n=1$ .

Dejemos que $R=\mathbb{Z}\langle x,y\mid yx=1\rangle$ el anillo generado por dos variables no conmutativas $x$ y $y$ sujeta a la relación única $yx=1$ . Este anillo tiene una base $\{x^iy^j\mid 0\leq i,j<\infty\}$ en $\mathbb{Z}$ con la multiplicación de los elementos de la base fácilmente deducible de la relación (sólo hay que cancelar tantas instancias de $yx$ como sea posible).

Existe un homomorfismo de anillo suryente $\varphi:R\to\mathbb{Z}$ con $\varphi(x)=\varphi(y)=1$ y así $R$ tiene la propiedad IBN (un anillo tiene IBN si tiene una imagen homomórfica con IBN).

Multiplicación por la derecha $x$ es una izquierda $R$ -homomorfismo de módulo $\alpha:~_RR\to~_RR$ y es proyectiva ya que tiene una inversa derecha dada por la multiplicación derecha por $y$ . Desde $_RR$ es proyectiva, $\alpha$ se divide y así $$_RR~\cong~_RR\oplus\ker(\alpha).$$

Pero $\ker(\alpha)\neq0$ ya que $(xy-1)x=0$ Así que $xy-1\in\ker(\alpha)$ .