¿Número total de pares ordenados (A, B) posibles?

Question

$U=\left \{ 1,2,3,4,5 \right \}$

y $A$ y $B$ son dos subconjuntos. Si $n(A ∩ B) = 2$ y $A \neq B$ .

Entonces el número total de pares ordenados $(A, B)$ son posibles cuando $n(X)$ representa la cardinalidad del conjunto $X$ ?

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Mi intento :-

A). Seleccione primero $2$ elementos para el conjunto A y poner los mismos elementos en el conjunto $B$ . Ahora, podemos tener diferentes posibilidades como

$A=\left \{ 1,2 \right \}$ y las posibilidades de B son $\left \{ 1,2,3/4/5/34/35/45/345 \right \}$

Total $140$ formas .

B). A continuación, seleccione $3$ elementos para el conjunto $A$ y hacer el mismo procedimiento para B, pero cada vez los pares disminuirán .

$18 + 16 + 14 + 12 +10+8+6+4+2=90 $ formas .

Por lo tanto, Total = $230$ formas.

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¿Pero no tengo respuesta para esto? ¿Es correcto?

Answer 1

Una buena manera de hacerlo:

En primer lugar, hay que tener en cuenta que el número de formas de elegir dos subconjuntos disjuntos $A, B \subseteq \{ 1, 2, \ldots, n \}$ es $3^n$ porque para cada $i \in \{ 1, 2, \ldots, n \}$ elegimos si pertenece a $A$ o $B$ o ninguno. Si queremos que los conjuntos sean distintos, debemos restar $1$ para el caso $A = B = \varnothing$ , por lo que obtenemos $3^n - 1$ .

Ahora a elegir $A, B \subseteq U$ tal que $|A \cap B| = 2$ podemos:

• Seleccione primero $I \subseteq U$ de tamaño $2$ para ser la intersección - podemos hacer esto en $\binom{5}{2} = 10$ formas,
• A continuación, seleccione los elementos disjuntos y distintos $A \setminus I, B \setminus I \subseteq U \setminus I$ - podemos hacerlo en $3^3 - 1 = 26$ formas.

Así que el número total de formas es $10 \cdot 26 = 260$ .