Ayuda sobre la prueba de la desigualdad

Question

Estoy tratando de resolver una prueba para esta desigualdad. Ya tengo la solución, pero tengo una pregunta sobre la solución. Esto es lo que tengo hasta ahora:
Prueba $2^n > n^2$ para $n > 4$
Caso base $n=5$ . $32 > 25$ . Es cierto.
Caso Inductivo: Supongamos que $2^n > n^2$ es cierto para $4 < n \leq k$ . En particular, para $2^k > k^2$ . Prueba $2^{k+1} > (k+1)^2$ .

$$2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > k^2 + 2k + 1$$ .

Aquí es donde me atasco. La solución dice que $2 \cdot 2^k > 2 \cdot k^2$ . Ok, tiene sentido. Entonces dice que eso es igual a $k^2 + k^2 > k^2 + 2k + 1$ .

¿Dónde $k^2 + k^2$ ¿de dónde viene?

Answer 1

Las respuestas anteriores han abordado ampliamente la cuestión, pero creo que merece la pena hacer algunas observaciones metodológicas.

El enfoque que se está dando a la pregunta "¿Cuándo es $2^n >n^2$ ?" es esencialmente sustractivo . Hay un enfoque mejor, que se ocupa bien de una serie de problemas similares. Para este problema en particular, parecerá más complicado, porque la división parece más complicada que la sustracción.

Dejemos que $f(n)=n^2/2^n$ . Queremos demostrar que $f(n)<1$ cuando $n >4$ . Tenga en cuenta que $$f(n+1)=\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}=\frac{n^2}{2^n}\frac{(n+1)^2}{n^2}\frac{1}{2}$$ Así, $$f(n+1)=f(n)\left(1+1/n\right)^2/2$$ Pero $(1+1/n)^2/2<1$ para cualquier $n \ge 3$ . Así, desde $n=3$ en, $f(n)$ es decreciente. Dado que $f(4)=1$ concluimos que $f(n)<1$ para todos $n \ge 5$ .

Del mismo modo, demostremos que a partir de algún punto identificado $3^n >n^4$ . Dejemos que $f(n)=n^4/3^n$ . Un cálculo similar al anterior muestra que $$f(n+1)=f(n)(1+1/n)^4/3$$ El término que $f(n)$ se multiplica por es menor que $1$ cuando $n \ge 4$ , por lo que a partir de $n=4$ en, $f(n)$ está disminuyendo. Un poco de experimentación muestra que $f(7)>1$ y $f(8)<1$ . Así que $f(n)<1$ de $n=8$ en.

Nota para los puristas: No se ha mencionado la palabra "inducción". Sin embargo, como en la mayoría de los problemas sobre números enteros positivos, la inducción es que se utiliza. En el $2^n > n^2$ problema, de los hechos que $f(n+1)<f(n)$ para $n \ge 3$ y que $f(4)=1$ , concluimos tranquilamente que $f(n)<1$ para todos $n>4$ . En principio, este paso requiere una inducción matemática. En la práctica, consideramos que este paso es obvio y no utilizamos la palabra "i".

Answer 2

$2k^2 = k^2 + k^2$ Así que..:

$$k^2 + 2k + 1 < k^2 + k^2 = 2k^2 < 2 \cdot 2^k$$

Es fácil ver que $2k^2 < 2 \cdot 2^k$ de la hipótesis de inducción, por lo que sólo hay que demostrar $k^2 + 2k + 1 < k^2 + k^2$ .