Pregunta de Topología sin lágrimas de S. Morris sobre los espacios de la puerta: (ver temas relacionados aquí y aquí )
Un "espacio de puertas" es una topología $(X, \tau)$ en el que cada subconjunto de $X$ está abierto o cerrado (o ambos).
Para $X=\{a,b,c,d\}$ ¿Qué topologías son los Espacios de la Puerta?
La pregunta es un poco vaga -- no estoy seguro de si se refiere a cuáles de las topologías específicas ya introducidas en su texto son Espacios de Puerta, o a cuáles de las 33 topologías no equivalentes en un conjunto de 4 puntos son Espacios de Puerta.
Si es lo primero, el problema es bastante fácil; no necesito ayuda ahí.
Si es esto último (que de los 33), un enfoque de fuerza bruta funcionará. Pero, ¿hay una forma mejor de contar los espacios de la puerta de un conjunto de n puntos?
Para un conjunto de 4 puntos, hay 14 subconjuntos adecuados que forman 7 particiones en pares. Por tanto, cualquier espacio de puertas de 4 puntos debe contener al menos 7 subconjuntos (además de $X$ y $\emptyset$ ) en su topología para contabilizar cada subconjunto como abierto o cerrado.
A partir de aquí, sólo puedo buscar la lista explícita de topologías de 4 puntos y comprobar/contar los miembros que tienen más 7 o más elementos.
¿Hay más criterios que pueda utilizar para reducir el número a comprobar/contar?
