¿Qué es el DAG y lo que tiene que ver con las ideas de Voevodsky?

Question

En Toen y Vezzosi del artículo De BRUJA a DAG: derivados de los módulos pilas de una especie de definición de DAG es dado. Yo no soy un experto y no se puede ver cuál es la relación entre el DAG y el motivic cohomology ideas de Voevodsky (particularmente en su categoría $DG$). Sería bueno si alguien podría explicar que a mí.

Yo además estoy muy interesado en ver cómo estas ideas pueden ser usados en un ejemplo claro. Si debo explicarle a alguien por qué motivic cohomology es una buena cosa, yo sin duda lo haría mención a la prueba de la Milnor conjetura. Pero ¿se puede ver el uso de derivados ideas de una forma más explícita y de la abajo-a-tierra ejemplo?

Answer 1

Voy a añadir a las otras respuestas con un especulativa comentario:

Presumiblemente, debería ser posible "hacer Morel-Voevodksy en DAG". Por lo tanto, comenzar con algunos conveniente categoría de derivados de los esquemas de $C$, definir una noción de Nisnevich gavilla en $C$, recoger un objeto $I$ en $C$ (afín a la línea?), y localizar obligando a $I\ * $ a ser una equivalencia.

No tengo idea de si esto es una cosa interesante que hacer.

Answer 2

Son muy diferentes. Ambos implican una mezcla de la geometría algebraica y homotopy teoría, pero no en todos de la misma manera: DAG es cuando se utiliza más homotopyish anillos a sus cuñados, mientras que en Voevodsky/Morel del trabajo que usted está pensando en una variedad de una especie de espacio y tratando de capturar el homotopy tipo de espacio que de manera universal. Incluso de manera más flexible, en el DAG está inyectarse la heroína de homotopy la teoría del derecho en los fundamentos de la geometría algebraica, manteniendo la misma forma; pero en motivic homotopy la teoría de que usted está tratando de empujar a las variedades en que decadente reino, afloje un poco, y fundamentalmente cambiar su forma.

Answer 3

Hay una muy general bonito patrón aquí:

Vamos a $C$ ser una categoría de la prueba de los espacios en los que queremos modelo más general de espacios. Entonces

• un "muy general" espacio de modelado en $C$ es un objeto en el gros ∞-topos $Sh_{(\infty,1)}(C)$ de ∞-pilas en $C$.

Morel-Voevodsky tomar C para ser el Nisnevich sitio. Entonces $Sh_{(\infty,1)}(C)$ es el ∞-topos cuya intrínseca cohomology es motivic cohomology.

Aquí C pasa a ser un simple categoría. De manera más general, podemos tomar C para ser un ∞-categoría en sí. En ese caso $Sh_{(\infty,1)}(C)$ podría ser llamado el ∞-topos de derivados de la pilas. Lo que Toen Vezzosi hacer HAG I y II es proporcionar un modelo cateory teórico de la presentación de este. Es por eso que los artículos que son difíciles de leer: este es un componente basado manera de describir un abstracto concepto elegante.

Ahora, los objetos de $Sh_{(\infty,1)}(C)$ son "muy general" espacios modelados en $C$. Hay una cadena de ∞-subcategorías de más "domar" a los espacios en el interior, a pesar de que:

• en primer lugar se encuentran aquellos ∞-pilas en C, los cuales son representados por un ∞-pila con un C-valores de la estructura de la gavilla. Esto son los estructurada ∞-topos, que generalizan la noción de los anillos de los espacios.

• y, a continuación, entre estos se encuentran aquellos que son localmente equivalente a objetos en C. Estas son las generalizado esquemas o "derivado del esquema de" si C es adecuada ∞-categórica.

El patrón aquí se revisan en las nociones de espacio.

En principio, uno podría considerar la posibilidad de tales "derivados de los esquemas", también en el de Morel-Voevodsky gros ∞-topos de ∞-pilas en la Nisnevich sitio, parece que hasta ahora nadie se veían en esto. Pero hay todo tipo de ejemplos de prueba de espacio en las categorías C, en el que la gente todavía tiene que empujar a través de este general tonterías. Por ejemplo, podemos tomar C para ser, simplemente, la categoría de suave colectores. A continuación, el por encima de las generalidades de escupir la noción de derivada suave colector.

El remate: todas estas cosas unificar en una gran imagen. No es Toen/Vezzosi/Lurie derivados de la geometría en una mano y Morel/Voevodsky cohomology en el otro. En lugar de todo esto es parte de una gran imagen.

Y también, si me pueden decir que aquí, en este panorama realmente es casi restringido a la geometría algebraica. Lurie noción de espacio es mucho, mucho más general. Se describe la GEOMETRÍA. De cualquier tipo.

Answer 4

Yo no te puedo decir mucho acerca de la relación con el Voevodsky del trabajo, pero te puedo dar un resumen rápido de los Derivados de la Geometría Algebraica.

En DAG ampliar la categoría de los objetos geométricos que se puede estudiar. Es más fácil hacerlo mediante el uso de la functorial enfoque. Así que un plan es sólo un functor de anillos conmutativos en los conjuntos.

Ahora vamos a ampliar esta categoría en la stacky dirección. Esto significa que podemos cambiar el destino de nuestro functor. En lugar de estudiar solo conjunto de valores de functors vamos a permitir groupoid valores de functors. Esto lleva a que las pilas que se utilizan para. Pero para algunos complicado módulos de problemas groupoids no se puede codificar la información suficiente. Así que vamos a hacer la categoría de destino aún más grande y permitir simplicial conjunto de valores de functors. Así que ahora tenemos para el estudio de la categoría de functors de anillos conmutativos a simplicial fija, también llamado la categoría de simplicial presheaves. En esta categoría usted tiene que imponer el derecho de descenso y atlas condiciones para encontrar los objetos que tienen el derecho a ser llamado geométricas. Estos chicos se llama superior de las pilas.

Creo que lo que hemos hecho hasta ahora es muy similar a la Voevodsky de la construcción. Pero estoy absolutamente no es un experto en esto. Probablemente uno de los expertos que se muestran aquí pronto y explicar que.

Hasta ahora no hemos derivado nada. Que se inicia cuando también ampliar la categoría de dominio. El natural ", derivada de la categoría" para conmutativa anillos es simplicial commuative anillos. Eso es porque la categoría de anillos conmutativos no es abelian y, a continuación, simplicial objetos son un buen reemplazo para los complejos de la cadena. Derivado de la geometría algebraica, entonces, es el estudio de functors de simplicial conmutativa anillos de simplicial conjuntos, o simplicial presheaves en simplicial conmutativa anillos. De nuevo, usted tiene que encontrar la functors dentro de esta categoría con el derecho de descenso y atlas condiciones, y eso es un montón de trabajo. Estos chicos están llamados derivados de los esquemas, derivados de las pilas y derivados superior de las pilas.

La intuición geométrica para estos derivados de los esquemas y las pilas son los que son normales esquemas, además de una difusa nube de nilpotents en los esteroides alrededor de ellos. Se puede codificar mucha más información en su estructura gavilla de ordinario esquemas. Un buen ejemplo es la intersección de dos subschemes en un ambiente esquema. Usted puede entonces construir una "deriva de la intersección". Este derivado de la intersección intrínsecamente en su estructura gavilla ha codificado que es una intersección, algo que nunca podría cumplir con el normal nilpotents.

La diferencia entre el Toen-Vezzosi enfoque y el enfoque de Lurie es que el uso de la TELEVISIÓN categorías de modelo donde Lurie utiliza el infinito-1 categorías. El enfoque que se utiliza realmente es una cuestión de gusto. Creo que la analogía es la de coordinar el trabajo libre o con las coordenadas.

Un comentario final: Si usted mira en los papeles de Luries sitio web o en Toen-Vezzosis Homotopical Algebraicas Geomtery II libro, usted encontrará que trabajan en mucho mayor generalidad. Ellos hacen todo el programa, no en la categoría de simplicial conmutativa anillo, pero por muy general, categorías de modelo. Si usted realmente está interesado sólo en el DAG, hay Toen las notas del curso en su página de inicio o Luries tesis original.

Answer 5

Como tengo entendido (que no es mucho con la Voevodsky cosas) hay tres diferencias entre las dos direcciones:

1. Motivic homotopy teoría de las preocupaciones de las poleas de los espacios en la Nisnevich la topología, que es más grueso que el etale o plana. Esto significa que podemos tener más objetos de aquí que no están permitidos en el DAG/stacky mundo. Por ejemplo algebraica de K-teoría satisface Nisnevich pero no etale descenso, así que no vive en el stacky mundo. Sería genial si alguien pudiera dar un sentido intuitivo de cómo mucho más general Nisnevich poleas puede ser que etale - con el fin de obtener un sentido de lo fundamental que diferencia.

2. Como se ha mencionado por varias personas, en DAG se puede extender desde las pilas de los anillos de las pilas de más de derivados de los anillos de uno u otro tipo. Esto es importante para aplicaciones, pero no es una diferencia fundamental con motivic homotopy teoría, ya que uno puede imaginar la combinación de los dos como Urs dice.

3. La diferencia más fundamental en mi humilde opinión (que parece que falta de todo, pero de Charles respuesta) es la inversión de la afín a la línea de paso de $\mathbb A^1$ homotopy teoría (aunque presumiblemente esto está implícito en Dustin metáforas). Esto cambia radicalmente la naturaleza de los objetos geométricos en motivic homotopy teoría, haciéndolos mucho más flexible y "homotópica" que los de DAG (en comparación con esto, presumiblemente, la flexibilidad de trabajar en Nisnevich topología es sólo un menor paso?) Por supuesto, se podría considerar la posibilidad de tales operaciones en DAG, como Charles sugiere, pero en términos de la actual sabores y las aplicaciones de las dos áreas a mí esto me parece una gran diferencia. Es en este sentido que motivic homotopy la teoría de que realmente está haciendo homotopy la teoría de los esquemas -- en la teoría de la agenda para el desarrollo y superior de las pilas de nosotros mantener el régimen de dirección solo (o permitir que sea infinitesimalmente engrosada en un derivado de dirección) y sólo homotopify los valores de functors de puntos, mientras que $\mathbb A^1$ homotopy agrega un tipo completamente diferente de la topología en el juego.