si $\sin24^\circ = p$ qué es $\cos24^\circ$ ?

Question

Dejemos que $p=\sin 24^\circ$

1. Entonces, ¿qué $\cos (24^\circ)$ sea en términos de $p$ ?

2. ¿Qué es lo que $\sin (168^\circ) \cdot \sin(-78^\circ)$ sea en términos de $p$ ?

No estoy seguro de cómo abordarlas, ya que acabamos de empezar esta sección.

Gracias.

Answer 1

Usted sabe que $\sin^2+\cos^2=1$ . Como $\sin(24)=p$ tienes $p^2 + \cos^2(24)=1$ . Resuelve esta ecuación para $\cos(24)$ . Para la segunda parte puedes utilizar algunos teoremas trigonométricos. Por ejemplo $$ \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta) = -\frac{1}{2} (\cos(\alpha+\beta) -\cos(\alpha - \beta))$$

Esto le da $$\sin(168^\circ) \cdot \sin(-78^\circ)=-\frac{1}{2} ( \cos(90^\circ)- \cos(246^\circ))$$ Sabemos que $\cos(90^\circ)=0$ y que $\cos(x+180^\circ)=-\cos(x)$ por lo que tenemos $$-\frac{1}{2} \cos(66^\circ)=-\frac{1}{2}\cos(90^\circ-24^\circ)=-\frac{1}{2} \sin(24^\circ)$$

Answer 2

Parte 1

Utilizar la identidad \begin{equation*} \sin^2A+\cos^2A=1\\ \cos^2 A={1-\sin^2 A} \end{equation*} así que \begin{align*} \cos^2 24^\circ&={1-\sin^2( 24^\circ) }\\ \\ \\cos^2 24^\circ&={1-p^2 } \\ \\ \cos24^\circ&=\sqrt{1-p^2 } \end{align*} Aquí sólo tomamos el valor positivo de la raíz cuadrada porque $24^\circ$ está en el quaderente I y el ratio cos en el quaderente I es positivo.

Parte 2

\begin{align*} \sin 168^\circ \cdot \sin(-78^\circ) &=-\frac{2\sin 168^\circ\cdot\sin78^\circ}{2} \end{align*} Utilizando la fórmula ${2\sin A\cdot\sin B}=\cos (A-B)-\cos(A+B)$ \begin{align*} \sin(168^\circ)\cdot \sin(-78^\circ)&=-\frac{\cos 90^\circ-\cos 246^\circ}{2} \\ &=\frac{\cos 246^\circ}{2}\\ &=\frac{\cos(270^\circ-24^\circ)}{2}\\ &=-\frac{\sin 24^\circ}{2}\\ &=-\frac{p}{2} \end{align*}

Answer 3

Mi método favorito

$$\sin \theta = \cfrac{\text {opposite}}{\text{hypothenus}}=\cfrac p1,\quad \quad \cos\theta = \cfrac{\text {adjacent}}{\text{hypothenus}}$$ ¿Qué es "adyacente"? Por Pthagoras', tenemos $\quad \text{adjacent}^2+\text{opposite}^2=\text{hypothenus}^2$ así que $$ \text{adjacent}^2 + p^2=1 \implies \text{adjacent}=\sqrt{1-p^2}$$ y ¡listo! $$\cos\theta = \cfrac{\text {adjacent}}{\text{hypothenus}}=\cfrac{\sqrt{1-p^2}}{1}=\sqrt{1-p^2}$$

Answer 4

Parte 2

Método 1 :

$\sin168^\circ=\sin(180^\circ-168^\circ)$ ( como $\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta$ )

Así que, $\sin168^\circ=\sin12^\circ$

y $\sin(-78^\circ)=-\sin78^\circ$ como $\sin(-\theta)=-\sin\theta$

Así que, $\sin(-78^\circ)=-\sin(90^\circ-12^\circ)=-\cos12^\circ$

$$\implies \sin168^\circ\cdot\sin(-78^\circ)=\sin12^\circ\cdot(-\cos12^\circ)=-\frac{\sin (2\cdot12^\circ)}2=-\frac{\sin24^\circ}2$$

Método 2 :

$\sin168^\circ=\sin(90^\circ+78^\circ)=\cos78^\circ$ como $\sin(90^\circ+\theta)=\cos\theta$

Otra vez, $\cos78^\circ=\cos(-78^\circ)$ como $\cos(-\theta)=\cos\theta$

$$\implies \sin168^\circ\cdot\sin(-78^\circ)=\cos(-78^\circ)\cdot\sin(-78^\circ)=\frac{\sin 2(-78^\circ)}2$$ $$=\frac{\sin(24^\circ-180^\circ)}2=-\frac{\sin24^\circ}2$$ como $\sin(\theta-180^\circ)=-\sin(180^\circ-\theta)=-\sin\theta$