Puede encontrar un contraejemplo en la obra de J. Michael Steele Cálculo estocástico y aplicaciones financieras en la página 196. Aquí hay una construcción esencialmente equivalente.
Dejemos que $r(t)$ sea cualquier función continua positiva sobre $[0,1)$ con $\int_0^1 r(s)^2\,ds = +\infty$ (por ejemplo, $r(t) = 1/(1-t)$ ). Establecer $s(t) = \int_0^t r(s)^2\,ds$ para que $s$ es continua en $[0,1)$ , estrictamente creciente, y $s(1-) = +\infty$ . Si dejamos que $Z_t = \int_0^t r(s)\,dW_s$ entonces $Z_t$ es un movimiento browniano con cambios en el tiempo; en concreto, $\{Z_{s^{-1}(u)}, 0 \le u < +\infty\}$ es un movimiento browniano con respecto a la filtración $\{\mathcal{F}_{s^{-1}(u)}, 0 \le u < +\infty\}$ . (Obsérvese que $Z_{s^{-1}(u)}$ es continua con incrementos gaussianos independientes que tienen las varianzas correctas). Sea $$\tau = \inf \left\{t \in \left[\frac{1}{2}, 1\right] : Z_t = 0\right\}.$$ Como el movimiento browniano es recurrente, casi seguramente $Z_{s^{-1}(u)}$ llega a 0 para algunos $u \ge s^{-1}(1/2)$ Por lo tanto $Z_t$ llega a cero para algunos $t \ge 1/2$ . Así que $\tau < 1$ casi seguro. Por último, establece $$Y(t,\omega) = \begin{cases} r(t), & 0 \le t \le \tau(\omega) \\ 0, & \tau(\omega) < t \le 1. \end{cases}$$ Nota $\int_0^1 Y_t^2\,dt = s(\tau)$ . Desde $\frac{1}{2} \le \tau < 1$ casi seguramente, por construcción, tenemos $0 < s(1/2) < s(\tau) < \infty$ casi con toda seguridad, por lo que $0 < \int_0^1 Y_t^2\,dt < \infty$ casi seguro. Y $\int_0^t Y_s\,dW_s = Z_{t \wedge \tau}$ así que $\int_0^1 Y_s\,dW_s = Z_\tau = 0$ .
