Estimación de decaimiento exponencial para $(x,t) \in U_T$

Question

Supongamos que $u$ es una solución suave de $$\begin{cases}u_t - \Delta u + cu = 0 & \text{in }U \times (0,\infty) \\ \qquad \qquad \quad \, \,u=0 & \text{on } \partial U \times [0,\infty) \\\qquad \qquad \quad \, \, u=g & \text{on }U \times \{t=0\} \end{cases}$$ y la función $c$ satisface $c \ge \gamma > 0$ . Demostrar la estimación del decaimiento exponencial $$|u(x,t)| \le Ce^{-\gamma t} \quad ((x,t) \in U_T).$$

Esto es de PDE Evans, 2ª edición: Capítulo 7, Ejercicio 7.

Esto es lo que he trabajado hasta ahora:

Dejemos que $v=e^{ct}u$ . Entonces $v_t=e^{ct}u_t+ce^{ct}u$ y $\Delta v = e^{ct} \Delta u$ . Así que nuestro IBVP se convierte en $$\begin{cases}v_t - \Delta v = 0 & \text{in }U \times(0,\infty) \\ \qquad \quad v = 0 & \text{on } \partial U \times [0,\infty) \\ \qquad \quad v = e^{ct} g &\text{on } U \times \{t=0\}. \end{cases}$$ La siguiente convolución es una solución (ver página 41 del libro de texto) de esta EDP auxiliar: Editar: Esta convolución no funciona; no satisface las condiciones de contorno prescritas por el IBVP auxiliar. Por lo tanto, el resto de esta solución no se sigue.

$$v(x,t)=\frac 1{(4\pi t)^{\frac n2}} \int_U e^{-\frac{|x-y|^2}{4t}} [e^{ct} g(y)] \, dy,$$ lo que significa a su vez $$u(x,t)=e^{-ct} v(x,t)= \frac 1{(4\pi t)^{\frac n2}} \int_U e^{-\frac{|x-y|^2}{4t}} g(y) \, dy. \tag{$ * $}$$

Aquí es donde me quedé atascado, porque el $e^{-ct}$ factor ha desaparecido. En un intento anterior de este problema, pasé por alto el $e^{ct}$ en el $e^{ct}g(y)$ parte de la convolución, así que originalmente tenía esto: $$u(x,t)=e^{-ct} \frac 1{(4\pi t)^{\frac n2}} \int_U e^{-\frac{|x-y|^2}{4t}} g(y) \, dy. \tag{$ ** $}$$ Pude continuar desde ese punto (mientras usaba ese $g$ tiene un soporte compacto, por lo que $|g(y)| \le M$ ): \begin{align} |u(x,t)|&\le e^{-ct} \frac 1{(4\pi t)^{\frac n2}} \int_U e^{-\frac{|x-y|^2}{4t}} |g(y)| \, dy \\ &\le Me^{-ct} \frac 1{(4\pi t)^{\frac n2}} \int_U e^{-\frac{|x-y|^2}{4t}} \, dy \\ &\le Me^{-ct} \cdot N \\ &= Ce^{-ct} \\ &\le Ce^{-\gamma t}. \end{align}

Mi pregunta es: ¿Por qué me quedo atascado en $(*)$ ? Debería llegar a $(**)$ en su lugar, lo que me permitiría terminar la prueba.

Answer 1

No sé si tu planteamiento podría funcionar, pero en mi opinión vas por el camino equivocado. En primer lugar, ya que $c=c(x,t)$ No puedes ignorar el factor $e^{ct}$ al tomar el laplaciano de $v$ . Además, la integral de convolución no será, en general, una solución de su problema: Si $g>0$ entonces la integral de convolución define una función estrictamente positiva en $\mathbb{R}^n$ en particular, no puede satisfacer las condiciones de contorno.

Lo que se quiere probar es el principio de máxima: Fijar $v=e^{\gamma t}u$ entonces $v_t-\Delta u =(\gamma-c)v$ . Desde $\gamma-c<0$ podemos aplicar el principio de máxima para obtener, para $(x,t)\in U_T$ , $$ -\max_{U}g^-=-\max_{\Gamma_T}v^-\leq \min_{U_T} v \leq \sup_{U_T} v =\sup_{\Gamma_T} v^+ = \sup_U g^+. $$ Esto implica la desigualdad deseada con $C\leq \sup_U |g|$ .