¿El hecho de que $j^\mu$ es un vector 4 que implica $A^\mu$ es, como argumenta Feynman?

Question

Dejemos que \begin{equation} \boldsymbol{\Phi}=\Bigl(\dfrac{\phi}{c},\mathbf{A}\Bigr) \tag{01} \end{equation} el 4-potencial electromagnético. Sabemos que si su 4-divergencia es cero \begin{equation} \dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial \phi}{\partial t}\boldsymbol{+}\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{A}=0 \quad \text{(the Lorenz condition)} \tag{02} \end{equation} entonces las ecuaciones de Maxwell toman la elegante forma \begin{equation} \Box\boldsymbol{\Phi}=\mu_{0}\mathbf{J} \tag{03} \end{equation} donde el llamado d'Alembertian \begin{equation} \Box\equiv \dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2} \hphantom{t}}{\partial t^{2}}\boldsymbol{-}\nabla^{2} \tag{04} \end{equation} y el de 4 corrientes \begin{equation} \mathbf{J}=(c\rho,\mathbf{j}) \tag{05} \end{equation} que también tiene su 4divergencia igual a cero \begin{equation} \dfrac{\partial \rho}{\partial t}\boldsymbol{+}\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{j}=0 \quad \text{(the continuity equation)} \tag{06} \end{equation} y es un vector 4.

La pregunta es: ¿en estas condiciones es el 4-potencial un 4-vector? Pido una prueba o una referencia (enlace, documento, libro de texto, etc.) con una prueba.

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EDITAR

$^\prime$ Principalmente Electromagnetismo y Materia $^\prime$ The Feynman Lectures on Physics, Vol.II, The New Millenium Edition 2010.

Answer 1

bajo estas condiciones ¿es el 4-potencial un 4-vector? Pido una prueba o una referencia (enlace, documento, libro de texto, etc.) con una prueba.

No, no necesariamente.

Es conveniente elegirlo como un vector 4 en la teoría relativista. Pero las ecuaciones de Maxwell junto con la restricción de Lorenz no implican que la 4-tupla $(\varphi/c,\mathbf A)$ debe transformarse en cuatro vectores.

La condición de Lorenz

$$ \partial_t \varphi + \nabla \cdot \mathbf A = 0 ~~~\text{(in all inertial frames)} $$

y las ecuaciones de onda

$$ \square^2\varphi = \rho/\epsilon_0 $$

$$ \square^2\mathbf A = \mu_0 \mathbf j $$

no eliminan completamente la arbitrariedad de los potenciales: en un mismo marco $i$ pueden ser cambiados usando cualquier campo escalar $\chi_i$ :

$$ \tilde{\mathbf A} = \mathbf A + \nabla \chi_i $$ $$ \tilde{\varphi} = \varphi - \partial_t \chi_i $$ siempre que obedezca a la ecuación $$ \square^2\chi_i =0 $$ y no es constante. Esa ecuación tiene infinidad de soluciones diferentes, por lo que podemos asignar una solución distinta a cada marco inercial. Incluso si comenzamos con 4 pares de potenciales $(\varphi/c,\mathbf A)$ que se transforman como cuatro vectores, si luego redefinimos los potenciales en cada fotograma utilizando $\chi_i$ único para ese marco, no habrá una relación simple entre los componentes de los potenciales en dos marcos inerciales y, por tanto, no podrán conectarse mediante la transformación de Lorentz. Esto es poco práctico de hacer de esta manera, pero el resultado - potenciales en diferentes marcos no conectados por la transformación de Lorentz - es permitido por las ecuaciones anteriores.

Los potenciales son funciones artificiales que podemos definir a nuestro antojo siempre que den el campo eléctrico y magnético real mediante las fórmulas habituales. En es posible para extender esta definición de modo que sean cuatro vectores y esto es a veces la opción más natural. Por ejemplo, la conocida solución de Lienard-Wiechert de las ecuaciones de onda anteriores, cuando se utiliza en todos los marcos, da potenciales eléctricos y magnéticos que juntos se transforman como un cuatro vector.

Answer 2

Después de buscar en la web, en nuestro sitio de PSE y en muchos libros, libros de texto, documentos y demás, he llegado a esta conclusión:

Que el 4-potencial electromagnético $\:A^{\mu}(\mathbf{x},t)\:$ es un vector 4 es un supuesto .

En $^{\prime}$ Teoría Cuántica de Campos $^{\prime}$ de Itzykson C.-Zyber J., Edición 1980, leemos (en $\S$ 1-1-2 El campo electromagnético como sistema dinámico infinito ):

Suponemos que $\:A^{\mu}(x)\:$ para transformarse como un campo de cuatro vectores y la lagrangiana como una densidad escalar para que la acción sea una invariante de Lorentz.

También Ben Crowell comentó en ella Prueba de que el potencial de cuatro vectores es un cuatro vector válido :

Este tipo de pregunta no puede responderse de forma genérica. Depende de los supuestos de los que se parta. Alguien podría elegir un marco lógico en el que la naturaleza cuatrivectorial del potencial sea uno de los postulados.- Ben Crowell Sep 20 '17 at 23:06

Answer 3

Sí, los cuatro potenciales $A^{\mu}=(\phi(\vec{x},t),\textbf{A}(\vec{x},t))$ es un cuatro vector y se puede ver en la ecuación que satisface: \begin{align} \partial^{2}A^{\mu}=\frac{1}{c}J^{\mu} \end{align}

el $\partial^{2}$ es un escalar y $J^{\mu}$ es un vector de Lorentz que lleva a $A^{\mu}$ siendo necesariamente un cuatro vector propio.