Si $p$ y $q$ son proyecciones cómo puedo demostrar que $\|p(1-q)(x)\|\le \|q(1-q)(x)\|$ ?

Question

Dejemos que $p,q$ sean operadores de proyección ortogonal en un espacio de Hilbert.

¿Se cumple la siguiente ecuación?

$$ \langle p(1-q)x,p(1-q)x\rangle = \langle p(1-q)x,x\rangle$$

Tengo claro que $ \langle p(1-q)x,p(1-q)x\rangle = \langle p(1-q)x,(1-q)x\rangle$ pero no está claro si puedo pasar de $\langle (1-q)^\ast p(1-q)x,x\rangle$ a $\langle p(1-q)x,x\rangle$ .

Editar

¿Es la imagen de $1-q$ invariante con respecto a $p$ ? Es decir, ¿es cierto que

$$ p(\mathrm{im}(1-q))\subseteq \mathrm{im}(1-q)$$

Creo que la respuesta es sí porque puedo ver que es cierto en dimensión finita. No me queda 100% claro cómo demostrarlo en dimensión infinita.

Si realmente fuera cierto y $\mathrm{im}(1-q)$ era un espacio invariante entonces $p(1-q)p=(1-q)p$ se mantendría.

Edición 2

Lo que escribí en la edición anterior parece estar equivocado: aplicar una proyección ortogonal $p$ a la imagen de una proyección ortogonal $q$ no es necesariamente de nuevo a imagen y semejanza de $q$ .

Edición 3

Si nada de esto funciona: ¿hay otra forma de derivar

$$ \|p(1-q)(x)\|\le \|q(1-q)(x)\|$$

dado $\forall x \in H: \|p(x)\|\le \|q(x)\|$ ?

Answer 1

He aquí un contraejemplo de la afirmación: dejemos que $H = \mathbb{R}^2$ , dejemos que $p$ y $r$ sean las proyecciones ortogonales sobre $y = x$ y el $x$ -eje, respectivamente. Tomemos $q = 1 - r$ . Para $x = (1,-1)$ entonces tenemos $p(1-q)x = prx = p(1,0) = (\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ para que $$\langle p(1-q)x,p(1-q)x\rangle = \frac{1}{2}$$ pero $\langle p(1-q)x,x\rangle = 0$ .