¿Puede el recuento relativo de los factores primarios en $\small \lim_{w\to\infty}\prod_{k=1}^w (p_k-1) $ ¿se puede determinar analíticamente?

Question

(He publicado esta pregunta antes en MSE pero no recibí respuestas, así que lo intentaré aquí. También he condensado la redacción, espero que no sea demasiado)

Dejemos que
$\displaystyle \small \qquad f_w = (2-1)(3-1)(5-1)\ldots(p_w-1) \qquad = \prod_{k=1}^w (prime(k)-1) $
o en general con un número natural para el exponente n
$\displaystyle \small (1) \qquad f_w(n) = (2^n-1)(3^n-1)(5^n-1)\ldots(p_w^n-1) \qquad = \prod_{k=1}^w (prime(k)^n-1) $
con w que va hasta el infinito.

Entonces denotemos la primefactorización canónica de ese producto
$\displaystyle \small (2) \qquad f_w(n) = 2^{a_{n,1}} \cdot 3^{a_{n,2}} \cdot 5^{a_{n,3}} \cdot \ldots \cdot q_k^{a_{n,k}} \cdot \ldots $
utilizando q para los factores primarios para evitar la confusión entre las dos representaciones.

Me interesa saber si existe una expresión analítica para las frecuencias relativas
$\small (3) \qquad r_w(n,k) = a_{n,k} / w $
en el límite en la última expresión.

Empíricamente (utilizando la primera 600000 primos en la fórmula (1)) encontré aproximaciones a valores racionales para las frecuencias relativas de los primeros factores primos q en la fórmula (2) dando una tabla de alguna manera significativa, donde, después de escalar cerca de los enteros, para los primos pequeños q el error estaba en el cerca de 1/1000 . Sin embargo, no puedo determinar si las desviaciones de mi fórmula analítica estimada son aleatorias y desaparecen en el límite o si mantienen un sesgo. Especialmente el factor primario q=2 en la fórmula (2) parece tener un sesgo no aleatorio que podría sobrevivir en el límite.

Aquí está la tabla. Las entradas $\small e_{n,q}$ dan las frecuencias empíricas redondeadas $\small e_{n,q} \approx a_{n,k}/w \cdot (q-1)^2 $

$\small \qquad \begin{array} {r|rrrrrrrrrrrr} n&2&3&5&7&11&13&17&19&23& (\ldots \text{ primefactor }q)\\ \hline \\ 1&2&3&5&7&11&13&17&19&23 \\ 2&4&6&10&14&22&26&34&38&46 \\ 3&2&5&5&21&11&39&17&57&23 \\ 4&5&6&20&14&22&52&68&38&46 \\ 5&2&3&9&7&55&13&17&19&23 \\ 6&4&10&10&42&22&78&34&114&46 \\ 7&2&3&5&13&11&13&17&19&23 \\ 8&6&6&20&14&22&52&136&38&46 \\ 9&2&7&5&21&11&39&17&171&23 \\ 10&4&6&18&14&110&26&34&38&46 \\ 11&2&3&5&7&21&13&17&19&253 \\ 12&5&10&20&42&22&156&68&114&46 \\ 13&2&3&5&7&11&25&17&19&23 \\ 14&4&6&10&26&22&26&34&38&46 \\ 15&2&5&9&21&55&39&17&57&23 \\ 16&7&6&20&14&22&52&272&38&46 \\ 17&2&3&5&7&11&13&33&19&23 \\ 18&4&14&10&42&22&78&34&342&46 \end{array} $

La fórmula heurística que he extrapolado (dejando w aumento hacia el infinito) tiene dos formas:

si q=2 y n es par ( gcd(n,q)=2 ):
$\small \qquad e_{n,2} = (3 + \operatorname{val}( n,2 ) ) $
donde la función val(n,q) significa: el exponente, al que el factor primario q se produce en n

Para todos los demás casos
$\small \qquad e_{n,q} = \gcd(n,q-1) \cdot (q + (q-1)\cdot \operatorname{val}(n,q) ) $

Entonces
$\small \qquad \displaystyle a_{n,q} = { e_{n,q} \cdot w \over (q-1)^2 } $

¿Puede confirmarse la fórmula adivinada mediante un argumento analítico?

Answer 1

Sr. Helms,

Esta es la $n=1$ caso. Su fórmula da $e_{1,q}=q$ . Digamos que queremos estudiar la frecuencia con la que los primos $q=q_k$ divide $\prod_{p \leq x}(p-1)$ . Tal vez escriba este producto como $$ \left(\prod_{i=1}^m\prod_{\substack{p \leq x\\ p \in (q^{i-1}\mathbb{Z}+1)\setminus(q^{i}\mathbb{Z}+1)}}(p-1)\right) \times \prod_{\substack{p \leq x\\ p \in (q^{m}\mathbb{Z}+1)}}(p-1). $$ Si $m$ es el tamaño adecuado en relación con $x$ , entonces contando primos $p$ en $(q^{i-1}\mathbb{Z}+1)\setminus(q^{i}\mathbb{Z}+1)$ , $i \leq m$ puede hacerse mediante una versión asintótica del teorema de Dirichlet sobre los primos en las progresiones aritméticas. (Teorema de Siegel-Walfisz)

Equiparación $\prod_{p \leq x}(p-1)$ y $\prod_{k=1}^{w}(p_k-1)$ obtenemos $w \approx x/\log x$ .

Si $q^i \ll (\log x)^N$ como exige el teorema de Siegel-Walfisz, entonces el número de primos $p \leq x$ en $(q^{i-1}\mathbb{Z}+1)\setminus(q^{i}\mathbb{Z}+1)$ , $i>1$ es $\frac{q-1}{\varphi(q^i)}\frac{x}{\log x} + O\left(x \exp(-c_N (\log x)^{1/2})\right) = \frac{x}{q^{i-1}\log x} + O\left(x \exp(-c_N (\log x)^{1/2})\right)$ . El número de primos $p \leq x$ en $q^m\mathbb{Z}+1$ es $\frac{x}{q^{m-1}(q-1)\log x}+O\left(x \exp(-c_N (\log x)^{1/2})\right)$ . Por lo tanto, un límite inferior para $a_{1,k}/w$ es

$$ \left(\left(\frac{m}{q^{m-1}(q-1)}+\sum_{i=1}^m\frac{i-1}{q^{i-1}}\right)\frac{x}{\log x} + O\left(x \exp(-c_N (\log x)^{1/2})\right)\right)/\left(x/\log x\right) $$ donde $q^m \ll (\log x)^N$ . Al tomar $x \rightarrow \infty$ podemos sustituir

$$ \frac{m}{q^{m-1}(q-1)}+\sum_{i=1}^m\frac{i-1}{q^{i-1}} $$

con

$$ \sum_{i=1}^{\infty}\frac{i-1}{q^{i-1}} = \frac{q}{(q-1)^2} $$

y lo que se obtiene concuerda con su fórmula para $e_{1,q}$ .