Suma binomial - funciones generadoras

Question

Encuentre una forma cerrada para $a_n:=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(n-k)^n(-1)^k$ utilizando funciones generadoras.

Answer 1

Tenemos $$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}(-1)^k \binom{n}{k}(n-k)^n &=& \sum_{k=0}^{n}(-1)^k \binom{n}{n-k}(n-k)^n \\ &=& \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k} \binom{n}{k} k^n \\ &=& \left.\sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k} \binom{n}{k} (x D)^n x^k\right|_{x=1} \\ &=& \left.(x D)^n \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k} \binom{n}{k} x^k\right|_{x=1} \\ &=& \left.(x D)^n (x-1)^n\right|_{x=1}, \end{eqnarray*}$$ donde $D = \partial/\partial x$ . Pero $$(x D)^n = x^n D^n + (\mathrm{const}) x^{n-1}D^{n-1} + \ldots.$$ y $D^k(x-1)^n|_{x=1} = 0$ a menos que $k\ge n$ . Por lo tanto, $\left.(x D)^n (x-1)^n\right|_{x=1} = D^n(x-1)^n|_{x=1} = n!,$ y así $$\begin{equation*} \sum_{k=0}^{n}(-1)^k \binom{n}{k}(n-k)^n = n!.\tag{1} \end{equation*}$$

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_{El argumento anterior implica inmediatamente que $$\sum_{k=0}^{n}(-1)^k \binom{n}{k}(n-k)^m = 0$$ si $m\in\mathbb{N}$ y $m<n$ . También nos da un método para calcular la suma para $m>n$ . Las sumas de este tipo están relacionadas con el <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_numbers_of_the_second_kind" rel="nofollow noreferrer">Números Stirling del segundo tipo </a>, $$\begin{eqnarray} \sum{k=0}^{n}(-1)^k \binom{n}{k}(n-k)^m &=& \sum{k=0}^{n}(-1)^{n-k} \binom{n}{k}k^m \ &=& n! \left{m\atop n\right}. \end{eqnarray}$$ El operador $(x D)^n$ y su conexión con los números de Stirling ha sido discutida <a href="https://math.stackexchange.com/questions/154887/nicer-expression-for-the-following-differential-operator/">aquí </a>.}

Answer 2

Supongamos que intentamos evaluar $$\sum_{k=0}^n {n\choose k} (n-k)^n (-1)^k.$$

Observe que $$(n-k)^n = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{n+1}} \exp((n-k)z) \; dz.$$

Esto da para la suma la integral $$\frac{n!}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{n+1}} \sum_{k=0}^n {n\choose k} (-1)^k \exp((n-k)z) \; dz \\ = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{n+1}} \left(-1+\exp(z)\right)^n \; dz.$$

Ahora tenemos $$[z^n] \left(-1+\exp(z)\right)^n = 1$$ por inspección, lo que da como resultado $$n!$$ para la suma.