¿Para qué sirven los conjuntos por encima del conjunto complejo?

Question

Hace poco empecé a leer sobre conjuntos superiores al complejo (el conjunto de cuaterniones, el conjunto de octoniones, etc...) y como ya me costaba mucho entender por qué se necesitaban los números complejos en primer lugar, me preguntaba por qué se necesitarían conjuntos aún más complicados que el complejo, y cómo simplificarían los cálculos. ¿Puede alguien arrojar algo de luz sobre esto (dar un ejemplo o una explicación genérica)? Además, ¿cuál es el conjunto más alto que es realmente útil?

Answer 1

En su pregunta hace muchas suposiciones. Entre otros

• los "conjuntos de números" tienen que ser útiles

• una forma de que los sistemas numéricos sean útiles es simplificar los cálculos

• debería haber una lista conveniente y definitiva para comprobar

Pero la mayoría de las veces, los objetos matemáticos se nombran y manipulan mucho antes de que la mayoría de sus propiedades o relaciones con otros se comprendan, se acepten, se pongan en perspectiva, se utilicen de forma rutinaria y se transformen en material didáctico estándar.

Eso es lo que ocurrió con los números complejos a lo largo de unos cuatro siglos, desde los algebristas italianos del Renacimiento hasta el siglo XX.

Los cuaterniones, octoniones, sedeniones y otros sistemas hipercomplejos no gozan de la misma notoriedad técnica y matemática que tienen los números complejos, pero su aplicabilidad e interés dependen más de nuestra cultura y nuestro ingenio (o falta de él) de lo que se puede suponer. Los cuaterniones han tenido algunas salidas en falso en ese sentido durante la segunda mitad del siglo XIX (busquen a Hamilton, P.-G. Tait, O. Heaviside).

Tenga en cuenta que los sistemas numéricos y su familia natural (anillos y álgebras con al menos dos operaciones internas) no forman una línea que parta de los números enteros y llegue a los números complejos por extensiones sucesivas. Son un bosque diverso, con muchos (árboles muy útiles). Entre los más famosos:

• Espacios vectoriales reales y complejos (geometría de puntos, sistemas de ecuaciones, espacios n-dimensionales, ...). Esta es una parte que seguramente estudiarás pronto. A menudo se denomina Álgebra lineal .

• Álgebras booleanas (cálculo lógico, diseño de circuitos, teoría de la complejidad, ...)

• Álgebras de Lie (simetrías de ecuaciones diferenciales, y mucho más)

• Álgebras de Hopf (topología algebraica, geometría no conmutativa, teoría de campos conformes, ...)

y álgebras de Jordan, álgebras C*, anillos generales, álgebra tropical, ...

Cada vez con al menos un uso en física, química, ingeniería, informática, biociencias, además de su interés intrínseco y sus relaciones con otros dominios de las matemáticas.

Debo detenerme aquí porque hacer justicia a todas estas estructuras algebraicas equivaldría a presentar la mayor parte de las matemáticas actuales con todo detalle.

Answer 2

Los cuaterniones se utilizan (entre otras áreas) en los gráficos por ordenador en 3D, porque uno puede representar la rotación en 3D de una manera conveniente usando ellos. Voy a dar un enlace (que establece aún más aplicaciones), ya que no estoy demasiado leído en los detalles.

https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation

De hecho, la idea de representar las rotaciones en 3D mediante números, al igual que se pueden representar las rotaciones en 2D mediante números complejos, fue una de las principales razones por las que se introdujeron los cuaterniones y se consideraron interesantes en primer lugar.