Demostración de una desigualdad que implica $(N-1)!$

Question

¿Cómo se puede demostrar la siguiente desigualdad? $$\displaystyle\prod_{k=1}^N\left(\dfrac{k^3+k+1}{k^2(k+1)}\right)^\dfrac{1}{N}\ge\left(\frac{1}{N+1}\right)^\dfrac{1}{N}-\left(\dfrac{1}{N^2(N-1)!}\right)^\dfrac{1}{N}$$ Encontré que la igualdad se mantiene para $N\to\infty$ pero no puedo verificar analíticamente la desigualdad aunque numéricamente se cumpla. Gracias.

Answer 1

Es cierto incluso en la forma más fuerte: $$\prod_{k=1}^{N}\frac{k^3+k+1}{k^2(k+1)}>\frac{1}{N+1},\tag{1}$$ desde: $$\frac{k^3+k+1}{k^2(k+1)}>\frac{k}{k+1},\tag{2}$$ Así que..: $$\prod_{k=1}^{N}\frac{k^3+k+1}{k^2(k+1)}>\prod_{k=1}^{N}\frac{k}{k+1}=\frac{1}{N+1}.$$