Estimaciones de Schauder para un operador elíptico lineal de orden superior en una variedad

Question

¡Hola!

Dejemos que $(M,g)$ sea una variedad riemanniana compacta y lisa sin límites. Sea $L$ sea un operador elíptico lineal sobre $M$ de orden $2k$ con coeficientes suaves. Supongamos que tengo $u\in W^{2k,2}(M)$ y $f\in C^{0,\alpha}(M)$ tal que $$L(u)=f$$ ¿Tengo estimaciones de Schauder del tipo

$$\left\|u\right\|_{C^{2k,\alpha}\left(M\right)}\leq C\left(L\right)\left\|f\right\|_{C^{0,\alpha}\left( M \right)}$$

Puedo suponer también que $L$ (sería mejor para $L$ de tipo general) es autoadjunto y $u$ es $L^2$ -ortogonal a $\ker\left(L \right)$ .

En caso afirmativo, ¿hay alguna referencia para este tipo de resultados?

Gracias de antemano.

Answer 1

El resultado es cierto con algunas salvedades. Bajo sus supuestos tenemos los siguientes resultados.

1. Si $u\in W^{2k,2}(M)$ y $Lu\in C^{j,\alpha}(M)$ entonces $u\in C^{2k+j,\alpha}(M)$ .

2. Existe $C>0$ dependiendo sólo de $M$ , $L$ , $j$ y $\alpha$ tal que, para cualquier $u\in C^{2k+j,\alpha}(M)$ tenemos

$$\Vert u\Vert_{C^{2k+j,\alpha}} \leq C\Bigl(\; \Vert Lu\Vert_{C^{j,\alpha}}+ \Vert u\Vert\_{C^{0,\alpha}}\;\Bigr) $$

3. Existe $C>0$ dependiendo sólo de $M$ , $L$ , $j$ y $\alpha$ tal que, para cualquier $u\in C^{2k+j,\alpha}(M)\cap (\ker L)^\perp $ (el $\perp$ se refiere al $L^2$ -producto interior) tenemos

$$\Vert u\Vert_{C^{2k+j,\alpha}} \leq C \Vert Lu\Vert_{C^{j,\alpha}} $$

Para las pruebas y más detalles, véase el capítulo 10 de estas notas y sus referencias.

Answer 2

Esto es probablemente más bien un comentario: La sección 3.2 de El libro de Lunardi contiene una amplia visión de los problemas parabólicos de orden superior con muchas referencias, incluyendo las estimaciones de Hölder más importantes.

En los colectores, debería poder extender estos resultados utilizando un número finito de gráficos de coordenadas (por compacidad) como en estas notas . Pero, esto no es una referencia...