R2 y S3 para los anillos.

Question

Para un anillo noetheriano R, el criterio de normalidad de Serre establece que R es normal si y sólo si R satisface las condiciones R1 y S2, donde R1 es la regularidad en codimensión uno, y S2 es la condición de Serre de que todo primo P de codimensión al menos 2 satisface la profundidad R_P \geq 2. Asimismo, hay una condición similar para saber si R es reducido o no: R es reducido si R satisface R0 y S1. Siguiendo el patrón, parece que Rn y S(n+1) deberían ser equivalentes a alguna propiedad deseable para los anillos.

Ahora bien, hay una forma bonita y canónica de tomar cualquier anillo y crear un anillo reducido (o normal) a partir de él, y esto es algo que no deberíamos esperar que se extienda a dimensiones más altas, ya que sabemos que resolver las singularidades es (a) difícil y (b) no muy canónico. Dejando esto de lado, seguramente deberíamos ser capaces de decir algo no trivial sobre el siguiente caso, es decir, R2 y S3.

Answer 1

Las operaciones de reducción (haciendo un anillo R0 y S1) y normalización (R1 y S2) permanecen en la categoría de esquemas afines. La supernormalización no: La singularidad no R2 k[x,y,z]/xz-y^2 no puede ser eliminada por ningún mapa propio birracional de un dominio afín. Si eliminas "afín", probablemente habrás vuelto al problema de la resolución de singularidades. No estoy seguro de lo que ocurre si se quita "biracional".

Answer 2

La palabra que busca es "supernormal". Un par de resultados de ejemplo: Si R es supernormal, entonces el mapa sobre grupos de clase divisora Cl(R) \to Cl(R[[t]]) es un isomorfismo (Danilov, Griffith). Si R es una UFD supernormal, entonces la terminación \hat {R} también es un UFD (Flenner).

No conozco ningún trabajo sobre la "supernormalización": una búsqueda rápida en MathSciNet no arroja nada.

Answer 3

Si se debilita el birracional a sólo propio y genéricamente finito ("alteraciones"), entonces se puede hacer esto gracias a los teoremas de de Jong. De hecho, te permite construir alteraciones genéricamente etale. Además, si sólo intentas que las cosas sean Cohen-Macaulay (S_k para todo k) olvidándote de la regularidad, entonces hay un teorema de Kawasaki que dice que esencialmente todo admite un mapa biracional adecuado de algo Cohen-Macaulay. Parece difícil hacerlo mejor: una singularidad tridimensional normal no CM en característica 0 no admite un mapa finito desde algo CM (la cohomología local de la singularidad es un sumando de la de la cubierta para cualquier anillo normal en char 0).