¿Siempre la recurrencia nula en el límite entre la recurrencia positiva y la transitoriedad?

Question

Tengo el siguiente teorema:

Dejemos que $\rho$ sea la intensidad del tráfico.

a) Si $\rho<1$ entonces $X$ es recurrente positivo.

b) Si $\rho>1$ entonces $X$ es transitoria.

c) Si $\rho=1$ entonces $X$ es nulo-recurrente.

No es importante lo que exactamente $\rho$ y $X$ son. Supongamos que he demostrado a) y b). Entonces queda por demostrar el caso $\rho=1$ :

Puedo decir lo siguiente: $X$ es transitoria si y sólo si $\rho>1$ y es recurrente positivo si y sólo si $\rho<1$ . Si $\rho=1$ entonces $X$ no tiene otra opción que la de ser nulo-recurrido.

¿Es eso correcto?

Answer 1

¿Es eso correcto?

No, primero porque no hay ninguna prueba aquí, segundo porque en algunos escenarios el caso límite es recurrente positivo, respectivamente transitorio.

Answer 2

a) Si $\rho<1$ entonces $X$ es recurrente positivo.

Supongamos que he demostrado a)

Puedo decir lo siguiente: $X$ es recurrente positivo si y sólo si $\rho<1$

No, no puedes - sólo has demostrado que $\rho <1$ es una condición suficiente para la recurrencia positiva de $X$ pero no ha establecido su necesidad. Así que puedes decir, $X$ es recurrente positivo si $\rho<1$ pero no se puede utilizar si y sólo si .

Digamos que en un universo hay niños, niñas y armarios, y sólo se utilizan tres nombres: John, Jane y Woody. Después de pasar un tiempo allí, mencionas que John sólo se utiliza para los niños y Jane sólo para las niñas. Todavía no puedes concluir que Woody sólo se utiliza para los armarios, ya que puede ocurrir que haya un niño que se llame Woody.