¿Es el límite de $f(x)$ como $x$ apraches $-a$ desde la izquierda. $$\lim_{x \to (-a)^{-}}{f(x)}$$ lo mismo que $$\lim_{x \to -a^{-}}{f(x)}$$ donde $a>0$ ¿o la eliminación del paréntesis cambia el significado?
Razoné que no son lo mismo porque en el segundo caso, podemos multiplicar $x$ y $-a^{-}$ por $-1$ : $$\lim_{-x \to a^{-}}{f(x)}$$ Si sustituimos en la definición precisa de los límites esto significa, $$a-\delta<-x<a\overset{\times -1}{\implies} -a+\delta>x>-a\overset{rearrange}{\implies} (-a)<x<(-a)+\delta$$ lo que equivale a $$\lim_{x \to (-a)^{+}}{f(x)}$$ así que $$\lim_{x \to -a^{-}}{f(x)}=\lim_{x \to (-a)^{+}}{f(x)}$$
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La notación para el límite es siempre $\lim_{\text{variable } \to \text{ value}} $ y la variable aquí no puede ser una expresión como $-x$ . Si quiere introducir $-x$ mejor poner una variable $t=-x$ y luego $$\lim_{x\to - a^{-}} f(x) =\lim_{t\to a^{+}} f(-t) $$
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No veo por qué la variable no puede ser una expresión.
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Porque no se define así.
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Por cierto, tu culpa está en multiplicar por $-1$ . Debería conducir a $-x\to a^{+} $ incluso si permitimos la expresión en lugar de la variable. Esto es lo que he escrito usando $t=-x$ .
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¡Muchas gracias!, Paramanand Singh.