Al tomar la derivada, como $\frac{d}{dx}$ ¿Qué hace exactamente el $d$ ¿Representar? La mejor respuesta hasta ahora está en, por ejemplo $\frac{dy}{dx}$ El $d$ significa cambio en y lo que sigue al signo de igualdad describe cómo $y$ cambios en relación con $x$ . Pero digamos que la derivada es $3x^2 + y$ ¿Cómo representa eso exactamente la relación entre las dos variables? Me resulta difícil de entender.
Respuestas
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G Tony Jacobs
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La expresión $\frac{dy}{dx}$ representa el límite de $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ como $\Delta x$ se desvanece. Es una especie de artefacto de la forma de pensar de Leibniz sobre el cálculo en términos de números infinitesimales. Nuestra expresión moderna $\frac{d}{dx}$ es una extrapolación de eso, en la que el $y$ se ha apartado a un lado, donde puede ser sustituido por lo que sea.
Así que, básicamente, el $d$ era originalmente un evanescente $\Delta$ y ahora es sólo parte de una notación.
Michael Hardy
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En $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{d}{dx}f(x)$ la cantidad $dy$ o $df(x)$ se considera intuitivamente como un incremento infinitamente pequeño de $y=f(x)$ que corresponde al incremento infinitamente pequeño $dx$ en la variable $x$ .
$dy=df(x)$ se mide en las mismas unidades que $y=f(x)$ (por ejemplo, metros o segundos o dólares ) y $dx$ se mide en las mismas unidades que $x$ .
La segunda derivada es $\dfrac{d}{dx}\,\dfrac{d}{dx}\,y$ , escrito como $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ .
La notación $dx^2$ Entonces, significa $(dx)^2$ no nada de lo que se llama $d(x^2)$ (esta última expresión podría identificarse con $2x\,dx$ ). Esto implica que si $dx$ se mide, por ejemplo, en segundos, entonces $dx^2$ se mide en segundos al cuadrado. Eso es coherente con las interpretaciones físicas. Si $dx$ es infinitamente pequeño, entonces $dx^2$ es, por supuesto, infinitamente pequeño incluso en comparación con esa cantidad ya infinitamente pequeña, por lo que sería coherente pensar en $d^2y$ como un cambio infinitamente pequeño en comparación con el ya infinitamente pequeño $dy$ . Pero fíjese que $d^2y$ se mide en las mismas unidades que $y$ no en unidades del cuadrado de esa unidad. Eso también es coherente con las interpretaciones físicas.
Nada de esto es lógicamente riguroso. La medida en que puede hacerse rigurosa puede soportar, y ha soportado, mucho examen en las últimas décadas. Esa es una historia más larga.
