$\det\left(6(A^3+B^3+C^3)+I_{2}\right)\ge 5^2\det(A^2+B^2+C^2)$ para $2 \times 2$ matrices

Question

Motivado por esta pregunta Propongo una simplificación:

Pregunta Dejemos que las matrices $A,B,C\in M_{2}(\mathbb{C})$ sea hermitiana y definida positiva, tal que: $$A+B+C=I_2$$ Demuestra eso: $$\det\left(6(A^3+B^3+C^3)+I_{2}\right)\ge 5^2\det(A^2+B^2+C^2)$$ donde $I_{2}$ es la matriz de identidad.

La pregunta original es de desconocido origen y espero una simplificación sustancial en el $2 \times 2$ caso en el que se cumple la siguiente expansión:

$$\left[ \begin{array}{cc} x_1 & y + iz \\ y - iz & x_2\end{array}\right] = \left[ \begin{array}{cc} x_1 & 0 \\ 0 & x_2\end{array}\right] + y\left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right] + z\left[ \begin{array}{rc} 0 & i \\ - i & 0\end{array}\right]$$

tal vez con la expansión a las matrices de espín de Pauli esto sea solucionable.

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Hay un buen artículo de Knutson y Tao sobre los panales de abejas que puede ser de ayuda:

• http://www.ams.org/journals/jams/1999-12-04/S0894-0347-99-00299-4/

Answer 1

Dejemos que $L=\{(A,B,C)\in M_2(\mathbb{C})^3; A,B,C\text{ are hermitian }\geq 0,A+B+C=I_2\}$ y

$res:L\rightarrow \det(6(A^3 +B^3+C^3)+I_2)-25\det(A^2 +B^2+C^2)$ .

Ya que buscamos $\min_L res$ podemos suponer que $A$ es una matriz diagonal y que $res$ se define en el conjunto $K$ parametrizado por

$A=diag(u,v),B=\begin{pmatrix}p&r+is\\r-is&q\end{pmatrix},C=\begin{pmatrix}1-u-p&-r-is\\-r+is&1-v-q\end{pmatrix}$ , donde

$u,v,p,q,1-u-p,1-v-q,pq-r^2-s^2,(1-u-p)(1-v-q)-r^2-s^2\geq 0$ .

Tenga en cuenta que $K$ es un subconjunto convexo compacto de $\mathbb{R}^6$ . El borde de $K$ , $\partial K$ es el conjunto de puntos de $K$ s.t. al menos uno de los $8$ términos anteriores es cero y $K\setminus \partial K$ es el interior de $K$ .

Por supuesto, $\min_K res$ se alcanza al menos en un punto de $K$ . Sabemos que $\min_K res\leq 0$ y que, si $AB=BA$ entonces $res(A,B,C)\geq 0$ .

Queremos mostrar

$\textbf{Theorem}.$ Uno tiene $\min_K res=0$ y este límite sólo se alcanza con tríos de matrices conmutables.

$\bullet$ En la continuación, suponemos que $AB\not= BA$ .

Una herramienta esencial será la teoría de la base de Grobner en $\mathbb{C}$ y en $\mathbb{R}$ . Dado que la teoría sobre $\mathbb{R}$ es mucho menos potente, la idea es reducir nuestro problema a un sistema polinómico sobre $\mathbb{C}$ constituido por polinomios más simples que $res$ y demostrar que este sistema no tiene soluciones reales que satisfagan la $8$ las condiciones anteriores.

$\textbf{Lemma}.$ Podemos suponer $v>u\geq 0$ y $p,q,1-u-p,1-v-q>0$ .

$\textbf{Proof}$ . Por ejemplo, si $pq=0$ entonces $r=s=0$ y $AB=BA$ . $\square$

$\textbf{Proposition 1.}$ Si $u>0,pq>r^2+s^2,(1-u-p)(1-v-q)>r^2+s^2$ (es decir, $\det(A),\det(B),\det(C)>0$ ), entonces $(A,B,C)$ no se da cuenta $\min_K res$ .

$\textbf{Proof}$ . Aquí $(A,B,C)\in K\setminus\partial K$ si llega a $\min_K res$ entonces debe cancelar las derivadas parciales de $res$ .

Paso 1. Utilizamos la biblioteca de Maple FGb (trabajando sobre $\mathbb{C}$ ) para estudiar el $3$ sistemas

$\dfrac{\partial res}{\partial u}=\dfrac{\partial res}{\partial v}=\dfrac{\partial res}{\partial p}=\dfrac{\partial res}{\partial q}=\dfrac{\partial res}{\partial r}=\dfrac{\partial res}{\partial s}=0,u-v\not= 0$ Y

$[(rs\not=0)$ O $(r\not=0,s=0)$ O $(r=0,s\not=0)]$ ,

preguntando (entre otros polinomios) por las relaciones entre $u,v$ .

Obtenemos, en cada caso, una base de Grobner que contiene (en particular) $3$ polinomios $P,Q,R$ que sólo dependen de $u,v$ .

Paso 2. Utilizamos la biblioteca RAG de Maple (que trabaja sobre $\mathbb{R}$ ) para estudiar el sistema

$P=Q=R=0,u,v-u,1-u,1-v>0$ .

Obtenemos que no hay soluciones en cada una de las $3$ casos. $\square$

$\textbf{Proposition 2}$ . Si $\det(A)$ o $\det(B)$ o $\det(C)=0$ entonces $(A,B,C)$ no se da cuenta $\min_K res$ .

$\textbf{Proof}$ . Podemos suponer que $\det(A)=0$ Es decir, $u=0$ . Si ponemos $a=r^2+s^2$ (con $a>0$ porque $AB\not= BA$ ), entonces (forma Maple)

$$res(0,v,p,q,r,s)=f(v,p,q,a)=-36*a*p^2*v^2-144*a*p*q*v^2-72*a*p*v^3-36*a*q^2*v^2-36*a*q*v^3-36*a*v^4-324*p^2*q^2*v-324*p^2*q*v^2+72*a^2*v^2+648*a*p*q*v+432*a*p*v^2+108*a*q*v^2+108*a*v^3+224*p^2*q^2+548*p^2*q*v+224*p^2*v^2+324*p*q^2*v+324*p*q*v^2-324*a^2*v-448*a*p*q-548*a*p*v-324*a*q*v-183*a*v^2-224*p^2*q-224*p^2*v-224*p*q^2-548*p*q*v-224*p*v^2-126*q^2*v-126*q*v^2+224*a^2+224*a*p+224*a*q+198*a*v+76*p^2+224*p*q+224*p*v+76*q^2+202*q*v+76*v^2-72*a-76*p-76*q-76*v+24.$$

Utilizamos la biblioteca RAG de Maple (que trabaja sobre $\mathbb{R}$ ) para estudiar el sistema

$f=0,v > 0, p > 0, q > 0, 1-p > 0, 1-v-q > 0, a > 0, a < 1$ .

Obtenemos que no hay soluciones.

Obsérvese que $U=\{(v,p,q,a);v > 0, p > 0, q > 0, 1-p > 0, 1-v-q > 0, a > 0, a < 1\}$

es un subconjunto convexo abierto de $\mathbb{R}^4$ y que $f(0.1,0.3,0.4,0.1)\approx 5.6>0$ .

Concluimos que $f>0$ en $U$ y que $\min_K res$ no se alcanza en $U$ . $\square$

$\textbf{Proof of Theorem.}$ Según las proposiciones 1 y 2, $\min_K res$ sólo se alcanza con trillizos $(A,B,C)$ s.t. $AB=BA$ Por lo tanto $\min_k res=0$ y sólo se alcanza (hasta la similitud simultánea) por las tripletas

i) $diag(1/2,1/2),diag(1/2,0),diag(0,1/2)$

ii) $A=B=C=1/3.I_2$

iii) $A=B=0.5.I_2,C=0_2$

iv) $A=diag(1/3,1/2),B=diag(1/3,0),C=diag(1/3,1/2)$ .