Si $P(x)=p_nx^n+p_{n-1}x^{n-1}+\cdots+p_0$ se divide por $x-a$ , demuestre que el resto es $P(a)$ . Necesito ayuda para verificar mi prueba.

Question

Si $P(x)=p_nx^n+p_{n-1}x^{n-1}+\cdots+p_0$ se divide por $x-a$ , demuestre que el resto es $P(a)$ .

Necesito ayuda para verificar mi prueba.

Prueba: Si $P(x)$ se divide por $x-a$ da un cociente de $Q(x)$ y el resto $R$ .

$P(x)\equiv(x-a)Q(x)+R$

Sustituyendo $a$ para $x$ en esta identidad da $R$ .

Por lo tanto, $P(a)=(a-a)Q(x)+R \Rightarrow P(a) =R$

¿Podrían indicarme si esta prueba es válida?

Answer 1

La prueba es válida pero algo torpe.

De hecho, usted dice

" $P(x)\equiv(x-a)Q(x)+R$ . Sustituyendo $a$ para $x$ en esta identidad da $R$ ."

seguido de

"Por lo tanto, $P(a)=(a-a)Q(\color{red}a)+R \Rightarrow P(a) =R$ ."

Son esencialmente las mismas declaraciones, una es superflua.

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Por la definición de división polinómica,

$$\forall x:P(x)=(x-a)Q(x)+R,$$ donde la constante $R$ es el resto.

Entonces

$$P(a)=(a-a)Q(a)+R=R.$$

Answer 2

Su prueba es correcta. Solo hay que notar que debe haber $P(a)=(a−a)Q(a)+R$ en lugar de $P(a)=(a−a)Q(x)+R$ .