¿Es posible cambiar el signo de la derivada por el de la integral en $\;\frac{d}{dy}(\int_0^\infty F(x)\frac{e^{-x/y}}{y}\,dx)\;$ ?

Question

Tengo que calcular la siguiente derivada

$$\frac{d}{dy}\left(\int_0^\infty F(x)\frac{e^{-x/y}}{y}\,dx\right)$$ donde $F\colon\mathbb R^+\to\mathbb R^+$ .

Me gustaría pasar el signo de la derivada dentro de la integral impropia para concluir que \begin{align}\frac{d}{dy}\left(\int_0^\infty F(x)\frac{e^{-x/y}}{y}\,dx\right)= \int_0^\infty F(x)\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{e^{-x/y}}{y}\right)\,dx. \end{align} El problema es que el intervalo de la integral no está acotado por lo que no puedo aplicar la teoría clásica. Sabéis si hay algún teorema que permita cambiar la derivada y el signo de la integral cuando el intervalo de la integral no está acotado?

Gracias

Answer 1

Para $ 0 \lt a \lt b \lt \infty$ , usted tiene para $y \in (a,b)$

$$\left\vert \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{e^{-\frac{x}{y}}}{y}\right) \right\vert \le A(a,b) e^{-\frac{x}{b}}$$ donde $A(a,b)$ es una constante que depende de $a,b$ .

Si $x \mapsto F(x) e^{-\frac{x}{b}}$ es integrable, puedes utilizar un corolario del teorema de convergencia dominante de Lebesgue para obtener el resultado que buscas.